अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो पीतल के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 500 mm, E = 100 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.3 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 50 mm, लंबाई 300 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 30 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।
खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
0.5 m लंबा एक ठोस स्टील शाफ़्ट 250 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 1° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
T = 250 N·mL = 0.5 mG = 80 GPaφallow = 1°
d = mm
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक ठोस शाफ़्ट को 1500 rpm पर 50 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 75 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 50 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 1.5 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह आलंबों के बीच बिंदु भार P1 और C पर बिंदु भार P2 वहन करता है। भार P1 के नीचे बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।
L = 6.5 mP1 = 80 kN पर 2 mP2 = 70 kN पर 6.5 mआलंब x = 0 और x = 5 m पर
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। A से उस खंड तक की दूरी x0 ज्ञात कीजिए जहाँ बंकन आघूर्ण सबसे बड़ा है।
L = 4 mw = 6 kN/m, 1 से 3 m तक
x0 = m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
120 mm × 150 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 30 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 105 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmछिद्र का केंद्र: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
120 mm × 200 mm की एक प्लेट में 30 mm चौड़ा और 30 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 140 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 120 mmh = 200 mmकटाव: 30 × 30 mmछिद्र का केंद्र: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = −40 MPa और σᵧ = 90 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 115 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τxy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?
σx = −40 MPaσy = 90 MPaσ1 = 115 MPa
τxy = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° दक्षिणावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।
σx = 40 MPaσy = 30 MPaτxy = 20 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।
w = 5 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। टेक पर प्रतिक्रिया RB ज्ञात कीजिए।
L = 6 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 120 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 120 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 30.84 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.3/9.726 × 10⁻⁶ = 30845 N = 30.84 kN
उत्तर
P = 30.84 kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σ2 = 7.286 MPa
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
कठोरताएँ
k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm
खंड 2 का हिस्सा
F2 = 30000·458149/960804 = 14305 N
प्रतिबल
σ2 = 14305/1963 = 7.286 MPa (संपीडन)
उत्तर
σ2 = 7.286 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 30.9 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·500/(80000·0.01745) = 89525 mm⁴
व्यास
d = (32J/π)1/4 = 30.9 mm
उत्तर
d = 30.9 mm
व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 27.86 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m
अनुमेय प्रतिबल से व्यास
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27.86 mm
उत्तर
d = 27.86 mm
व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 54 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन। ओवरहैंग का भार भी A के परितः कार्य करता है।
ΣMA = 0: RB·5 = 80·2 + 70·6.5
RB = 615/5 = 123 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 123 = 27 kN
P1 के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें
Mx = RA·2 = 27·2 = 54 kN·m
उत्तर
Mx = 54 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: x0 = 2 m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·4 = 6·2·2
RB = 24/4 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
शून्य अपरूपण
अपरूपण बल RA से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।
RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 6/6 = 2 m
उत्तर
x0 = 2 m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 33.05 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (18000·75 − 706.9·105)/(18000 − 706.9) = 73.77 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
120·150³/12 + 18000·1.226² = 33.78 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
π·30⁴/64 + 706.9·31.23² = 0.729 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 33.05 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 33.05 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 78.44 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (24000·100 − 900·140)/(24000 − 900) = 98.44 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
120·200³/12 + 24000·1.558² = 80.06 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
30·30³/12 + 900·41.56² = 1.622 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 78.44 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 78.44 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τxy = 62.25 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
आवश्यक त्रिज्या
C = (−40 + 90)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 115 − 25 = 90 MPa
अपरूपण प्रतिबल
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 65²) = 62.25 MPa
उत्तर
τxy = 62.25 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τθ = 5 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
τθ = −5·−1 + 20·0 = 5 MPa
उत्तर
τθ = 5 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δmax = 1.303 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
विक्षेप
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 1.303 mm
उत्तर
δmax = 1.303 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: RB = 11.25 kN
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।
टेक हटाएँ
टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।
δload = wL⁴/(8EI)
टेक पर संगतता
अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·6/8 = 11.25 kN
उत्तर
RB = 11.25 kN
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 3.052 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 2·1500 = 3000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/3000² = 3052 N = 3.052 kN
उत्तर
Pcr = 3.052 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 98.87 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 3·120000 = 360000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 98.87 mm
उत्तर
d = 98.87 mm
जाँच: तनुता KL/r = 121.4 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
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