पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
Ø 10 mmस्टील2.5 mP = 45 kN

स्टील छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 45 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 30 mmपीतल1.5 mØ 12 mmताँबा1.5 mP = 70 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।

P = 70 kNखंड 1: Ø30 mm, 1.5 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
T = 400 N·md = 50 mmL = 0.8 mφ = ?

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·md = 50 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
Td = ?

एक ठोस शाफ़्ट को 1000 rpm पर 5 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 40 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
25 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

25 kN @ 10 m10 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 24 kN/mAB5 m1 m

सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।

L = 6 mw = 24 kN/m, 0 से 5 m तक
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
xD = 240d = 212आयाम mm में

एक वृत्ताकार नली का बाहरी व्यास D = 240 mm और भीतरी व्यास d = 212 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

D = 240 mmd = 212 mm
r = mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
170270103801214xआयाम mm में

एक वेल्डित I-खंड का ऊपरी फ़्लेंज 170 × 10 mm, वेब 380 mm ऊँचा और 14 mm मोटा, और निचला फ़्लेंज 270 × 12 mm (चौड़ाई × मोटाई) है। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

ऊपरी फ़्लेंज: 170 × 10 mmवेब: 14 × 380 mmनिचला फ़्लेंज: 270 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = 30σy​ = 30τxy​ = −60MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 30 MPa, σᵧ = 30 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σx = 30 MPaσy = 30 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = 100σy​ = −50τxy​ = 30MPa

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa और τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 275 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σx = 100 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaσY = 275 MPa
n =
11.बीम विक्षेपमध्यम
P = 5 kNABδ2 m0.5 m

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 2 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δB ज्ञात कीजिए।

P = 5 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 4 kN/mδL = 3 m

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 2 md = 30 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 30 kNL = 4 md = ?अनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 30 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 30 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 2865 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 45·1000/78.54 = 573 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 573/200000 = 0.002865 = 2865 µε

उत्तर

ε = 2865 µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σmax = 618.9 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 99.03 MPa
σ2 = 618.9 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σmax = 618.9 MPa

उत्तर

σmax = 618.9 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 0.7662 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(39000·613592) = 0.01337 rad
φ = 0.01337·180/π = 0.7662°

उत्तर

φ = 0.7662°
4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 18.25 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 5000/104.7 = 47.75 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·47746/(π·40)) = 18.25 mm

उत्तर

d = 18.25 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 8 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 7.5 kN, R2 = 27.5 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = 15, MC = 30, MD = 45, ME = 60 kN·m, MF = 55, MG = 0

उत्तर

चिह्न E: ME = 60 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mmax = 102.1 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 24·5 = 120 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 24·5·2.5
RB = 300/6 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 50 = 70 kN

शून्य अपरूपण

अपरूपण बल RA से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 70/24 = 2.917 m

अधिकतम आघूर्ण

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 70·2.917 − 24·2.917²/2 = 102.1 kN·m

उत्तर

Mmax = 102.1 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: r = 80.06 mm

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = Ic + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।

शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण

A = π(D² − d²)/4 = 9940 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 6.371 × 10⁷ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या

r = √(I/A) = √(6.371 × 10⁷/9940) = 80.06 mm

उत्तर

r = 80.06 mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 244.2 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

तीन आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

ऊपरी फ़्लेंज: A = 1700 mm², y = 397 mm
वेब: A = 5320 mm², y = 202 mm
निचला फ़्लेंज: A = 3240 mm², y = 6 mm

केंद्रक

ȳ = (1700·397 + 5320·202 + 3240·6)/10260 = 172.4 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

ऊपरी फ़्लेंज: 170·10³/12 + 1700·224.6² = 8.576 × 10⁷ mm⁴
वेब: 14·380³/12 + 5320·29.58² = 6.867 × 10⁷ mm⁴
निचला फ़्लेंज: 270·12³/12 + 3240·166.4² = 8.977 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.576 × 10⁷ + 6.867 × 10⁷ + 8.977 × 10⁷
Ix = 2.442 × 10⁸ mm⁴ = 244.2 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 244.2 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θp = −45 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCσ1​σ2​

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θp = atan2(2·−60, 30 − 30) = −90°

अवयव पर कोण

θp = −45°

उत्तर

θp = −45°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 1.935

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।

στxyCσ1​σ2​

मुख्य प्रतिबल

C = 25 MPa, R = 80.78 MPa
σ1 = 105.8 MPa, σ2 = −55.78 MPa, σ3 = 0

वॉन मीज़ेस

σvM = √(105.8² − 105.8·(−55.78) + (−55.78)²) = 142.1 MPa
n = 275/142.1 = 1.935

उत्तर

n = 1.935

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δB = 1.608 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 5000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δP = Pa³/(3EI) = 1.17 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.0008772 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1.608 mm

उत्तर

δB = 1.608 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: Ireq = 7.232 × 10⁶ mm⁴

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

विक्षेप सीमा

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·70000·8.333) = 7.232 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7.232 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ireq = 7.232 × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 40.04 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1400² = 40043 N = 40.04 kN

उत्तर

Pcr = 40.04 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 43.9 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 3·30000 = 90000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 43.9 mm

उत्तर

d = 43.9 mm

जाँच: तनुता KL/r = 182.2 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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