पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
Ø 16 mmस्टील0.5 mP = 40 kN

स्टील छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 40 kNd = 16 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 40 mmताँबा1 mØ 20 mmपीतल2 mP = 45 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।

P = 45 kNखंड 1: Ø40 mm, 1 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 2 m, पीतल (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
do​ = ?T = 1000 N·m

एक खोखले शाफ़्ट को 1000 N·m का बलाघूर्ण वहन करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.7 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 75 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास do ज्ञात कीजिए।

T = 1000 N·mdi/do = 0.7τallow = 75 MPa
do = mm
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
d = 60 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 1.2 mb = 1.5 m

60 mm व्यास वाला एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 1.2 m और B से 1.5 m पर C पर 2000 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

d = 60 mmT0 = 2000 N·ma = 1.2 mb = 1.5 m
τmax = MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
w = 3 kN/mP = 70 kNAB2 m1 m

कैंटिलीवर A पर स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और A से 2 m पर बिंदु भार P वहन करता है। स्थिर आलंब A पर बंकन आघूर्ण MA ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 3 mP = 70 kN पर 2 mw = 3 kN/m, 0 से 3 m तक
MA = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
5 kN/m30 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

30 kN @ 6 m60 kN @ 2 m5 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
120 mm200 mm140 mmØ50xIx​ = ?

120 mm × 200 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 50 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 140 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmछिद्र का केंद्र: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
2601516020xM = 50 kN·mआयाम mm में

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 50 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σनीचे ज्ञात कीजिए।

bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 160 mmM = 50 kN·m
σनीचे = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = 120σy​ = 60MPaτxy​ = ?

एक बिंदु पर σₓ = 120 MPa और σᵧ = 60 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 140 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τxy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?

σx = 120 MPaσy = 60 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = 100σy​ = −70τxy​ = −20MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° दक्षिणावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σx = 100 MPaσy = −70 MPaτxy = −20 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
w = 2 kN/mδL = 2 m

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 2 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (स्टील)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
P = 14 kNABδ3.5 m1.5 m

एक सरल आलंबित बीम आलंब B से b = 1.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। बीम का अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।

P = 14 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 2 md = 30 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 60 kNL = 2.5 md = ?अनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 60 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 60 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 994.7 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 40·1000/201.1 = 198.9 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 198.9/200000 = 0.0009947 = 994.7 µε

उत्तर

ε = 994.7 µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σmax = 143.2 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 35.81 MPa
σ2 = 143.2 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σmax = 143.2 MPa

उत्तर

σmax = 143.2 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: do = 44.71 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·75·0.7599)) = 44.71 mm
di = 0.7·44.71 = 31.3 mm

उत्तर

do = 44.71 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 40.8 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τmax = 26.2 MPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।

संतुलन और संगतता

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·1.5/2.7 = 1111 N·m
TB = 2000·1.2/2.7 = 888.9 N·m

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

दोनों बलाघूर्णों में से बड़ा निर्णायक है (समान व्यास)।

τmax = 16·1.111 × 10⁶/(π·60³) = 26.2 MPa

उत्तर

τmax = 26.2 MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: MA = −153.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

मुक्त-सिरे वाला भाग रखें

P: −70·2 = −140 kN·m
w: −3·3²/2 = −13.5 kN·m
MA = −140 − 13.5 = −153.5 kN·m

उत्तर

MA = −153.5 kN·m

ऋणात्मक का अर्थ है हॉगिंग: ऊपरी फलक पर तनाव।

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 4 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 25 kN, R2 = 85 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = 22.5, MC = 40, MD = −7.5, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

उत्तर

चिह्न E: ME = −60 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 76.27 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (24000·100 − 1963·140)/(24000 − 1963) = 96.44 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

120·200³/12 + 24000·3.564² = 80.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·50⁴/64 + 1963·43.56² = 4.033 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 76.27 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 76.27 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σनीचे = 314.5 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 160 + 15/2 = 167.5 mm
वेब: Aw = 20·160 = 3200 mm², yw = 160/2 = 80 mm

केंद्रक

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3900·167.5 + 3200·80)/7100 = 128.1 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 260·15³/12 + 3900·(167.5 − 128.1)² = 6.139 × 10⁶ mm⁴
वेब: 20·160³/12 + 3200·(80 − 128.1)² = 1.422 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.139 × 10⁶ + 1.422 × 10⁷ = 2.036 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 128.1 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·128.1/2.036 × 10⁷ = 314.5 MPa

उत्तर

σनीचे = 314.5 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τxy = 40 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

आवश्यक त्रिज्या

C = (120 + 60)/2 = 90 MPa
R = σ1 − C = 140 − 90 = 50 MPa
στxyCσ1​σ2​

अपरूपण प्रतिबल

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 30²) = 40 MPa

उत्तर

τxy = 40 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τθ = 85 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

रूपांतरण समीकरण

τθ = −85·−1 + −20·0 = 85 MPa

उत्तर

τθ = 85 MPa
11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 2.353 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 2 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 2.353 mm

उत्तर

δ = 2.353 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: δmax = 12.18 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 14000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

अधिकतम की स्थिति

लंबे खंड में प्रवणता को शून्य रखने से स्थिति मिलती है।

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

अधिकतम विक्षेप

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 12.18 mm

उत्तर

δmax = 12.18 mm
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 40.04 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1400² = 40043 N = 40.04 kN

उत्तर

Pcr = 40.04 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 102.5 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 2.5·60000 = 150000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 102.5 mm

उत्तर

d = 102.5 mm

जाँच: तनुता KL/r = 195 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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