अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो ताँबा के बने खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 300 mm, E = 120 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.3 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील छड़ (व्यास 30 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 120 MPa) एल्युमिनियम की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 70 GPa, अनुमेय प्रतिबल 80 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार Pmax ज्ञात कीजिए।
छड़: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक खोखले शाफ़्ट को 2000 N·m का बलाघूर्ण वहन करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.7 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 60 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास do ज्ञात कीजिए।
T = 2000 N·mdi/do = 0.7τallow = 60 MPa
do = mm
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक ठोस शाफ़्ट को 1500 rpm पर 15 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 80 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 15 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
20 kN @ 3 m4 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच अधिकतम सैगिंग बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 10 mw = 3 kN/m, 0 से 10 m तकआलंब x = 0 और x = 8 m पर
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
150 mm × 150 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 50 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 105 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmछिद्र का केंद्र: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 20 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σनीचे ज्ञात कीजिए।
bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 120 mmM = 20 kN·m
σनीचे = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 150 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।
σx = 150 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
40 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 400 N·m के बलाघूर्ण के साथ 80 kN का अक्षीय तनन बल वहन करता है। शाफ़्ट की सतह पर, अधिकतम तलीय अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 40 mmF = 80 kNT = 400 N·m
τmax = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। आलंब A पर बीम की प्रवणता θA रेडियन में ज्ञात कीजिए।
w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम आलंब B से b = 1.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। मध्य-विस्तार पर विक्षेप δmid ज्ञात कीजिए।
P = 26 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)d = 60 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 20 mm
σcr = MPa
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 22.93 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.3/1.309 × 10⁻⁵ = 22925 N = 22.93 kN
उत्तर
P = 22.93 kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: Pmax = 295.9 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·5027 = 4.932 × 10⁸ N
निर्धारक विकृति
ε = min(0.0006, 0.001143) = 0.0006 (स्टील)
सबसे बड़ा भार
Pmax = 0.0006·4.932 × 10⁸ = 295938 N = 295.9 kN
उत्तर
Pmax = 295.9 kN
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: do = 60.68 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·60·0.7599)) = 60.68 mm
di = 0.7·60.68 = 42.47 mm
उत्तर
do = 60.68 mm
ठोस शाफ़्ट को d = 55.37 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 18.25 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 15000/157.1 = 95.49 N·m
अनुमेय प्रतिबल से व्यास
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18.25 mm
उत्तर
d = 18.25 mm
व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: D (x = 3 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 22 kN, R2 = 22 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = 20, MC = 36, MD = 48 kN·m, ME = 36, MF = 20, MG = 0
उत्तर
चिह्न D: MD = 48 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 21.09 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·8 = 3·10·5
RB = 150/8 = 18.75 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 18.75 = 11.25 kN
शून्य अपरूपण
RA − w·x0 = 0 → x0 = 11.25/3 = 3.75 m
अधिकतम सैगिंग आघूर्ण
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 11.25²/(2·3) = 21.09 kN·m
उत्तर
Mmax = 21.09 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 39.94 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (22500·75 − 1963·105)/(22500 − 1963) = 72.13 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
150·150³/12 + 22500·2.868² = 42.37 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
π·50⁴/64 + 1963·32.87² = 2.428 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 39.94 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 39.94 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: σनीचे = 214.9 MPa
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm
वेब: Aw = 20·120 = 2400 mm², yw = 120/2 = 60 mm
केंद्रक
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·130 + 2400·60)/4800 = 95 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
फ़्लेंज: 120·20³/12 + 2400·(130 − 95)² = 3.02 × 10⁶ mm⁴
वेब: 20·120³/12 + 2400·(60 − 95)² = 5.82 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.02 × 10⁶ + 5.82 × 10⁶ = 8.84 × 10⁶ mm⁴
बंकन प्रतिबल
निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।
y = 95 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·95/8.84 × 10⁶ = 214.9 MPa
उत्तर
σनीचे = 214.9 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: θp = −9.72 °
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण
मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।
2θp = atan2(2·−30, 150 − −20) = −19.44°
अवयव पर कोण
θp = −9.72°
उत्तर
θp = −9.72°
धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τmax = 45.02 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
सतह पर प्रतिबल
σ = F/A = 80000/(π·40²/4) = 80000/1257 = 63.66 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·40³) = 31.83 MPa
मोर वृत्त
C = σ/2 = 31.83 MPa
R = √(31.83² + 31.83²) = 45.02 MPa
उत्तर
τmax = 45.02 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: θA = 0.01278 rad
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। प्रवणता θ = dv/dx, M/(EI) का प्रथम समाकल है; संगत इकाइयों में यह रेडियन में आती है।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
सिरा प्रवणता
θA = wL³/(24EI) = 20·3000³/(24·1.76 × 10¹²) = 0.01278 rad
उत्तर
θA = 0.01278 rad
यह 0.7325° है।
12.बीम विक्षेप
उत्तर: δmid = 7.448 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 26000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²
मध्य विक्षेप
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 26000·1500·(3·5000² − 4·1500²)/(48·7.2 × 10¹²) = 7.448 mm
उत्तर
δmid = 7.448 mm
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 313.9 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313.9 kN
उत्तर
Pcr = 313.9 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 11.05 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/5 = 250
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11.05 MPa
उत्तर
σcr = 11.05 MPa
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