पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
P = ?12400 mm400 mmØ20Ø60δ = 0.4 mm

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो ताँबा के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 400 mm, E = 120 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.4 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 30 mmपीतल1 mØ 20 mmपीतल0.5 mP = 70 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।

P = 70 kNखंड 1: Ø30 mm, 1 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 0.5 m, पीतल (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
d = ?T = 400 N·mL = 2 m

2 m लंबा एक ठोस पीतल शाफ़्ट 400 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 1.5° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·mL = 2 mG = 39 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
Td = ?

एक ठोस शाफ़्ट को 1000 rpm पर 20 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 60 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
40 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

40 kN @ 4 m10 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 12 kN/mP = 25 kNABखंड1.5 m3.5 m

आलंब A से x = 1.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 5 mP = 25 kN पर 1.5 mw = 12 kN/m, 0 से 5 m तकx = 1.5 m
Mx = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
1002010014xआयाम mm में

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
1002010018xहॉगिंग Mआयाम mm में

एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 30 MPa और संपीडन में 150 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा हॉगिंग बंकन आघूर्ण Mallow ज्ञात कीजिए (उसका परिमाण दें)।

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 100 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = −20σy​ = 90τxy​ = −20MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa, σᵧ = 90 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σx = −20 MPaσy = 90 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = 10σy​ = −10τxy​ = 30MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 10 MPa, σᵧ = −10 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 50° वामावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σx = 10 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
τθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
w = 4 kN/mδL = 3 m

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 10 kN/mAB8 m

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। स्थिर सिरे पर बंकन आघूर्ण MA का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 8 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 1 m20 × 50 mmअनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 130 kNL = 2 md = ?अनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 130 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 130 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 53.01 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1.179 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.4/7.545 × 10⁻⁶ = 53014 N = 53.01 kN

उत्तर

P = 53.01 kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σmax = 222.8 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 99.03 MPa
σ2 = 222.8 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σmax = 222.8 MPa

उत्तर

σmax = 222.8 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 53.15 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·2000/(39000·0.02618) = 783532 mm⁴

व्यास

d = (32J/π)1/4 = 53.15 mm

उत्तर

d = 53.15 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 25.31 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25.31 mm

उत्तर

d = 25.31 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: C (x = 4 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 35 kN, R2 = 15 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = 70, MC = 120 kN·m, MD = 90, ME = 60, MF = 30, MG = 0

उत्तर

चिह्न C: MC = 120 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 57.75 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·5 = 25·1.5 + 12·5·2.5
RB = 187.5/5 = 37.5 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 37.5 = 47.5 kN
w = 12 kN/mP = 25 kNABRA​ = 47.5RB​ = 37.5खंड1.5 m3.5 m

x = 1.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 47.5·1.5 − 12·1.5·0.75 = 57.75 kN·m

उत्तर

Mx = 57.75 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 4.198 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
वेब: Aw = 14·100 = 1400 mm², yw = 100/2 = 50 mm

केंद्रक

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·110 + 1400·50)/3400 = 85.29 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 100·20³/12 + 2000·(110 − 85.29)² = 1.287 × 10⁶ mm⁴
वेब: 14·100³/12 + 1400·(50 − 85.29)² = 2.911 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.287 × 10⁶ + 2.911 × 10⁶ = 4.198 × 10⁶ mm⁴ = 4.198 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 4.198 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Mallow = 3.886 kN·m

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

केंद्रक

ȳ = (2000·110 + 1800·50)/3800 = 81.58 mm
ऊपरी कोर: c = 120 − 81.58 = 38.42 mm

क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण

I = 100·20³/12 + 2000·28.42² + 18·100³/12 + 1800·31.58² = 4.977 × 10⁶ mm⁴

हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण

हॉगिंग: ऊपरी भाग तनाव में, निचला भाग संपीडन में।

ऊपरी कोर: M = 30·4.977 × 10⁶/38.42 = 3.886 kN·m
निचली कोर: M = 150·4.977 × 10⁶/81.58 = 9.152 kN·m

निर्णायक मान

Mallow = min = 3.886 kN·m (ऊपरी कोर)

उत्तर

Mallow = 3.886 kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θp = −80.01 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCσ1​σ2​

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θp = atan2(2·−20, −20 − 90) = −160°

अवयव पर कोण

θp = −80.01°

उत्तर

θp = −80.01°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τθ = −15.06 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

रूपांतरण समीकरण

τθ = −10·0.9848 + 30·−0.1736 = −15.06 MPa

उत्तर

τθ = −15.06 MPa
11.बीम विक्षेप

उत्तर: δmax = 1.674 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 1.674 mm

उत्तर

δmax = 1.674 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: MA = 80 kN·m

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δload = wL⁴/(8EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN

स्थिर सिरे पर आघूर्ण

भारों और टेक बल के A के परितः आघूर्ण।

MA = wL²/2 − RB·L = 320 − 240 = 80 kN·m

उत्तर

MA = 80 kN·m
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 47 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·1000 = 700 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/700² = 46998 N = 47 kN

उत्तर

Pcr = 47 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 82.35 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 3·130000 = 390000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 82.35 mm

उत्तर

d = 82.35 mm

जाँच: तनुता KL/r = 97.14 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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