पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
Ø 16 mmएल्युमिनियम1 mP = 95 kN

एल्युमिनियम छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 95 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 40 mmस्टील1 mØ 16 mmएल्युमिनियम1.5 mP = 120 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।

P = 120 kNखंड 1: Ø40 mm, 1 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
d = 20 mmT = 40 N·m200 mmφ = 1.12°

एक मरोड़ परीक्षण में 20 mm व्यास वाला एक ठोस नमूना 40 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। 200 mm की गेज लंबाई के दोनों सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष 1.12° घूमते हैं (पदार्थ अभी प्रत्यास्थ है)। पदार्थ का अपरूपण गुणांक G ज्ञात कीजिए।

T = 40 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 1.12°
G = GPa
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
Tdo​ = 75 mm, di​ = 45 mm

एक खोखला शाफ़्ट 1500 rpm पर 50 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

P = 50 kWN = 1500 rpmdo = 75 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
10 kN/m45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

45 kN @ 6 m10 kN/m, 4–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 20 kN/mAB1 m3 m

सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।

L = 4 mw = 20 kN/m, 1 से 4 m तक
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
150 mm150 mm45 mmØ40xIx​ = ?

150 mm × 150 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 40 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 45 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
150 mm240 mm168 mm40 × 50xIx​ = ?

150 mm × 240 mm की एक प्लेट में 40 mm चौड़ा और 50 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 168 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 150 mmh = 240 mmकटाव: 40 × 50 mmछिद्र का केंद्र: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = 80σy​ = −60τxy​ = −20MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 80 MPa, σᵧ = −60 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

σx = 80 MPaσy = −60 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = 110σy​ = 40τxy​ = −20MPa

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 275 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σx = 110 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPaσY = 275 MPa
n =
11.बीम विक्षेपमध्यम
w = 10 kN/mδL = 2.5 m

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 10 kN/mAB3 m

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। स्थिर सिरे पर बंकन आघूर्ण MA का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 3 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 3 md = 50 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 135 kNL = 4 md = ?अनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 135 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 135 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 6750 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 95·1000/201.1 = 472.5 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for एल्युमिनियम = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 472.5/70000 = 0.00675 = 6750 µε

उत्तर

ε = 6750 µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σmax = 596.8 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 95.49 MPa
σ2 = 596.8 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σmax = 596.8 MPa

उत्तर

σmax = 596.8 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: G = 26.05 GPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण और कोण

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.12·π/180 = 0.01955 rad

अपरूपण गुणांक

T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·200/(15708·0.01955) = 26054 MPa
G = 26.05 GPa

उत्तर

G = 26.05 GPa

तुलना करें: इस्पात ≈ 80 GPa, पीतल ≈ 39 GPa, ऐलुमिनियम ≈ 26 GPa।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τmax = 4.415 MPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τmax = T·(do/2)/J = 318310·37.5/2.704 × 10⁶ = 4.415 MPa

उत्तर

τmax = 4.415 MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 6 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 47.5 kN, R2 = 57.5 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = 95, MC = 190, MD = 265 kN·m, ME = 210, MF = 115, MG = 0

उत्तर

चिह्न D: MD = 265 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mmax = 35.16 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·4 = 20·3·2.5
RB = 150/4 = 37.5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 37.5 = 22.5 kN

शून्य अपरूपण

अपरूपण बल RA से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 22.5/20 = 2.125 m

अधिकतम आघूर्ण

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 22.5·2.125 − 20·1.125²/2 = 35.16 kN·m

उत्तर

Mmax = 35.16 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 40.86 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (22500·75 − 1257·45)/(22500 − 1257) = 76.77 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

150·150³/12 + 22500·−1.775² = 42.26 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·40⁴/64 + 1257·−31.77² = 1.394 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 40.86 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 40.86 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 167.5 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (36000·120 − 2000·168)/(36000 − 2000) = 117.2 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

150·240³/12 + 36000·2.824² = 173.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

40·50³/12 + 2000·50.82² = 5.583 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 167.5 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 167.5 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τmax = 72.8 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCτmax​

मोर वृत्त की त्रिज्या

τmax = R = √(((80 − −60)/2)² + −20²) = 72.8 MPa

उत्तर

τmax = 72.8 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 2.684

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।

στxyCσ1​σ2​

मुख्य प्रतिबल

C = 75 MPa, R = 40.31 MPa
σ1 = 115.3 MPa, σ2 = 34.69 MPa, σ3 = 0

वॉन मीज़ेस

σvM = √(115.3² − 115.3·34.69 + 34.69²) = 102.5 MPa
n = 275/102.5 = 2.684

उत्तर

n = 2.684

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 77.88 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 10 N/mm, L = 2500 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·6.27 × 10¹¹) = 77.88 mm

उत्तर

δ = 77.88 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: MA = 11.25 kN·m

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δload = wL⁴/(8EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·3/8 = 11.25 kN

स्थिर सिरे पर आघूर्ण

भारों और टेक बल के A के परितः आघूर्ण।

MA = wL²/2 − RB·L = 45 − 33.75 = 11.25 kN·m

उत्तर

MA = 11.25 kN·m
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 137.3 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2100² = 137322 N = 137.3 kN

उत्तर

Pcr = 137.3 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 68.37 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 2·135000 = 270000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 68.37 mm

उत्तर

d = 68.37 mm

जाँच: तनुता KL/r = 163.8 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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