पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो पीतल के बने खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 300 mm, E = 100 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.5 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 40 kNखंड 1: Ø30 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 1.5 m, पीतल (E = 100 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखले शाफ़्ट को 750 rpm पर 5 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.5 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 50 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

30 kN @ 2 m55 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 4.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 5 mP = 50 kN पर 3.5 mw = 3 kN/m, 0 से 5 m तकx = 4.5 m

M_x = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक सममित I-खंड के फ़्लेंज 130 mm चौड़े और 10 mm मोटे हैं, कुल गहराई 280 mm है और वेब 10 mm मोटा है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

B = 130 mmH = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

200 mm × 150 mm की एक प्लेट में 60 mm चौड़ा और 50 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 52.5 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 200 mmh = 150 mmकटाव: 60 × 50 mmछिद्र का केंद्र: y = 52.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 50 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = −10 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −60 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 60° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = −60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (स्टील)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 18 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 25 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 157.1 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1.061 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.5/3.183 × 10⁻⁶ = 157080 N = 157.1 kN

उत्तर

P = 157.1 kN

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 2.635 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 56.59 MPa

σ₂ = 127.3 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 56.59·1500/117000 = 0.7255 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127.3·1500/100000 = 1.91 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.635 mm

उत्तर

δ = 2.635 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 4.676 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(39000·251327) = 0.08162 rad

φ = 0.08162·180/π = 4.676°

उत्तर

φ = 4.676°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 19.05 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 5000/78.54 = 63.66 N·m

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 63.66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·50·0.9375)) = 19.05 mm

d_i = 0.5·19.05 = 9.527 mm

उत्तर

d_o = 19.05 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 18.65 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: F (x = 10 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 34.17 kN, R₂ = 50.83 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 68.33, M_C = 76.67, M_D = 85, M_E = 93.33, M_F = 101.7 kN·m, M_G = 0

उत्तर

चिह्न F: M_F = 101.7 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 20.88 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3.5 + 3·5·2.5

R_B = 212.5/5 = 42.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 42.5 = 22.5 kN

x = 4.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 22.5·4.5 − 50·(4.5 − 3.5) − 3·4.5·2.25 = 20.88 kN·m

उत्तर

M_x = 20.88 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 62.05 × 10⁶ mm⁴

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = I_c + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है।

बाहरी आयत में से दोनों पार्श्व कटाव घटाकर

दोनों कटाव मिलकर (B − t_w) चौड़े और h_w = H − 2t_f ऊँचे हैं, और उनकी अक्ष x एक ही है।

h_w = 280 − 2·10 = 260 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·280³ − 120·260³)/12

I_x = 6.205 × 10⁷ mm⁴ = 62.05 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 62.05 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 53.94 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (30000·75 − 3000·52.5)/(30000 − 3000) = 77.5 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

200·150³/12 + 30000·−2.5² = 56.44 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

60·50³/12 + 3000·−25² = 2.5 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 53.94 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 53.94 × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = −7.973 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·−10, 50 − −20) = −15.95°

अवयव पर कोण

θ_p = −7.973°

उत्तर

θ_p = −7.973°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = −19.64 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = −10 + −50·−0.5 + −40·0.866 = −19.64 MPa

उत्तर

σ_θ = −19.64 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 10 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

विक्षेप

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 10 mm

उत्तर

δ_max = 10 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 47.62 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 18000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·4000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 25.97 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 21.65 mm

जोड़ें

δ_max = 25.97 + 21.65 = 47.62 mm

उत्तर

δ_max = 47.62 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 5.888 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·1500 = 1500 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5.888 kN

उत्तर

P_cr = 5.888 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 44.22 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa

उत्तर

σ_cr = 44.22 MPa

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