अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो ताँबा के बने खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 200 mm, E = 120 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.4 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और ताँबा का बना खंड (व्यास 50 mm, लंबाई 300 mm, E = 120 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 40 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।
खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 100 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
50 mm व्यास वाला एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 1 m और B से 1.2 m पर C पर 750 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 50 mmT0 = 750 N·ma = 1 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
आलंब A से x = 2 m पर खंड में अपरूपण बल Vx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 6 mw = 3 kN/m, 0 से 6 m तकx = 2 m
Vx = kN
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 8 mw = 24 kN/m, 0 से 6 m तक
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक वेल्डित I-खंड का ऊपरी फ़्लेंज 110 × 10 mm, वेब 170 mm ऊँचा और 10 mm मोटा, और निचला फ़्लेंज 180 × 16 mm (चौड़ाई × मोटाई) है। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
ऊपरी फ़्लेंज: 110 × 10 mmवेब: 10 × 170 mmनिचला फ़्लेंज: 180 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = 60 MPa, σᵧ = 50 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 50° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σy′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।
σx = 60 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।
σx = 100 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।
w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम आलंब B से b = 1 m पर बिंदु भार P वहन करता है। बीम का अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।
P = 27 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm
σcr = MPa
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 120.6 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1.326 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.4/3.316 × 10⁻⁶ = 120637 N = 120.6 kN
उत्तर
P = 120.6 kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σ2 = 14.38 MPa
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
कठोरताएँ
k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm
खंड 2 का हिस्सा
F2 = 40000·785398/1.113 × 10⁶ = 28235 N
प्रतिबल
σ2 = 28235/1963 = 14.38 MPa (संपीडन)
उत्तर
σ2 = 14.38 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 0.3591 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(26000·613592) = 0.006268 rad
φ = 0.006268·180/π = 0.3591°
उत्तर
φ = 0.3591°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 16.67 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।
संतुलन और संगतता
TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·1.2/2.2 = 409.1 N·m
TB = 750·1/2.2 = 340.9 N·m
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
दोनों बलाघूर्णों में से बड़ा निर्णायक है (समान व्यास)।
τmax = 16·409091/(π·50³) = 16.67 MPa
उत्तर
τmax = 16.67 MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Vx = 3 kN
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
x = 2 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
V = RA − (कट के बाईं ओर सभी नीचे की ओर भार)
Vx = 9 − 3·2 = 3 kN
उत्तर
Vx = 3 kN
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 168.8 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 24·6 = 144 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·8 = 24·6·3
RB = 432/8 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 144 − 54 = 90 kN
शून्य अपरूपण
अपरूपण बल RA से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 90/24 = 3.75 m
अधिकतम आघूर्ण
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 90·3.75 − 24·3.75²/2 = 168.8 kN·m
उत्तर
Mmax = 168.8 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 9.854 × 10⁶ mm⁴
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 160 + 15/2 = 167.5 mm
वेब: Aw = 8·160 = 1280 mm², yw = 160/2 = 80 mm
केंद्रक
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·167.5 + 1280·80)/4580 = 143 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
फ़्लेंज: 220·15³/12 + 3300·(167.5 − 143)² = 2.035 × 10⁶ mm⁴
वेब: 8·160³/12 + 1280·(80 − 143)² = 7.818 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.035 × 10⁶ + 7.818 × 10⁶ = 9.854 × 10⁶ mm⁴ = 9.854 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 9.854 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 32.97 × 10⁶ mm⁴
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
तीन आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
ऊपरी फ़्लेंज: A = 1100 mm², y = 191 mm
वेब: A = 1700 mm², y = 101 mm
निचला फ़्लेंज: A = 2880 mm², y = 8 mm
केंद्रक
ȳ = (1100·191 + 1700·101 + 2880·8)/5680 = 71.27 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
ऊपरी फ़्लेंज: 110·10³/12 + 1100·119.7² = 1.578 × 10⁷ mm⁴
वेब: 10·170³/12 + 1700·29.73² = 5.596 × 10⁶ mm⁴
निचला फ़्लेंज: 180·16³/12 + 2880·63.27² = 1.159 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.578 × 10⁷ + 5.596 × 10⁶ + 1.159 × 10⁷
Ix = 3.297 × 10⁷ mm⁴ = 32.97 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 32.97 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σy′ = 26.32 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण
σy′ = 55 − 5·(−0.1736) − 30·0.9848 = 26.32 MPa
जाँच
घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।
σx′ = 83.68 MPa, σx′ + σy′ = 110 = σx + σy
उत्तर
σy′ = 26.32 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = 25 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = 75 + 25·0 + 50·−1 = 25 MPa
उत्तर
σθ = 25 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δmax = 9.688 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 20 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
विक्षेप
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 9.688 mm
उत्तर
δmax = 9.688 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: δmax = 2.424 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 27000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
अधिकतम की स्थिति
लंबे खंड में प्रवणता को शून्य रखने से स्थिति मिलती है।
x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm
अधिकतम विक्षेप
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 2.424 mm
उत्तर
δmax = 2.424 mm
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 11.1 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 2·2000 = 4000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/4000² = 11103 N = 11.1 kN
उत्तर
Pcr = 11.1 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 197.4 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/10 = 100
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa
उत्तर
σcr = 197.4 MPa
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