अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 120 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) और ताँबा का बना खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 200 mm, E = 120 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 80 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।
खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 1000 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक खोखला शाफ़्ट 3000 rpm पर 75 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
P = 75 kWN = 3000 rpmdo = 80 mmdi = 64 mm
τmax = MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
सरल आलंबित बीम दो बिंदु भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 6 mP1 = 40 kN पर 2 mP2 = 75 kN पर 5 m
Mmax = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
25 kN @ 0 m45 kN @ 6 m45 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
120 mm × 200 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 60 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 120 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmछिद्र का केंद्र: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
100 mm × 150 mm की एक प्लेट में 30 mm चौड़ा और 40 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 97.5 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 100 mmh = 150 mmकटाव: 30 × 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 97.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 40 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = 10 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।
σx = 40 MPaσy = 110 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −40 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = −50 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 35° वामावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।
σx = −40 MPaσy = 110 MPaτxy = −50 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।
w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।
w = 20 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm
σcr = MPa
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 1.833 mm
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 120·1000/490.9 = 244.5 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 244.5/200000 = 0.001222 = 1222 µε
दीर्घीकरण
δ = ε·L = 0.001222·1500 mm = 1.833 mm
उत्तर
δ = 1.833 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σ2 = 26.34 MPa
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
कठोरताएँ
k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 120000·2827/200 = 1.696 × 10⁶ N/mm
खंड 2 का हिस्सा
F2 = 80000·1.696 × 10⁶/1.822 × 10⁶ = 74483 N
प्रतिबल
σ2 = 74483/2827 = 26.34 MPa (संपीडन)
उत्तर
σ2 = 26.34 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 18.01 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·79522) = 0.3144 rad
φ = 0.3144·180/π = 18.01°
उत्तर
φ = 18.01°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 4.022 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2.374 × 10⁶ mm⁴
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
τmax = T·(do/2)/J = 238732·40/2.374 × 10⁶ = 4.022 MPa
उत्तर
τmax = 4.022 MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 78.33 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
ΣMA = 0: RB·6 = 40·2 + 75·5
RB = 455/6 = 75.83 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 75.83 = 39.17 kN
हर भार के नीचे आघूर्ण
हर भार के बाईं ओर का भाग रखें।
भार P1: M = RA·2 = 39.17·2 = 78.33 kN·m
भार P2: M = RB·1 = 75.83·1 = 75.83 kN·m
सबसे बड़ा मान
Mmax = 78.33 kN·m (भार P1)
उत्तर
Mmax = 78.33 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: F (x = 5 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 53.75 kN, R2 = 61.25 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = −25, MC = 3.75, MD = −12.5, ME = −28.75, MF = −45 kN·m, MG = 0
उत्तर
चिह्न F: MF = −45 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 78.08 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (24000·100 − 2827·120)/(24000 − 2827) = 97.33 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
120·200³/12 + 24000·2.671² = 80.17 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
π·60⁴/64 + 2827·22.67² = 2.089 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 78.08 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 78.08 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 27.3 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (15000·75 − 1200·97.5)/(15000 − 1200) = 73.04 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
100·150³/12 + 15000·1.957² = 28.18 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
30·40³/12 + 1200·24.46² = 0.8777 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 27.3 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 27.3 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: θp = 82.03 °
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण
मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।
2θp = atan2(2·10, 40 − 110) = 164.1°
अवयव पर कोण
θp = 82.03°
उत्तर
θp = 82.03°
धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τθ = 53.38 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
τθ = −−75·0.9397 + −50·0.342 = 53.38 MPa
उत्तर
τθ = 53.38 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δmax = 4.274 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
विक्षेप
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 4.274 mm
उत्तर
δmax = 4.274 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: Ireq = 1065 × 10⁶ mm⁴
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
विक्षेप सीमा
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
आवश्यक जड़त्व आघूर्ण
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·5000⁴/(384·11000·13.89) = 1.065 × 10⁹ mm⁴
Ireq = 1065 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ireq = 1065 × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 42.11 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 1·5000 = 5000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/5000² = 42110 N = 42.11 kN
उत्तर
Pcr = 42.11 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 9.715 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa
उत्तर
σcr = 9.715 MPa
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