अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
स्टील छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।
P = 85 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 100 kNखंड 1: Ø25 mm, 1 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 2 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)
δ = mm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक सोपानी ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 30 mm और लंबाई 1.5 m है; खंड BC का व्यास 20 mm और लंबाई 0.8 m है। मुक्त सिरे C पर 200 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C का मरोड़ कोण φC डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 200 N·md1 = 30 mm, L1 = 1.5 md2 = 20 mm, L2 = 0.8 mG = 39 GPa
φC = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
60 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 3 m और B से 0.5 m पर C पर 250 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 60 mmT0 = 250 N·ma = 3 mb = 0.5 m
τmax = MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
30 kN @ 2 m8 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 1.5 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच अधिकतम सैगिंग बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 6.5 mw = 2 kN/m, 0 से 6.5 m तकआलंब x = 0 और x = 5 m पर
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
एक सममित I-खंड के फ़्लेंज 240 mm चौड़े और 24 mm मोटे हैं, कुल गहराई 440 mm है और वेब 8 mm मोटा है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष x के परितः बंकन के लिए उसका प्रत्यास्थ खंड मापांक Sx ज्ञात कीजिए।
B = 240 mmH = 440 mmtf = 24 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 50 MPa और संपीडन में 150 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा सैगिंग बंकन आघूर्ण Mallow ज्ञात कीजिए।
bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 240 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 40 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।
σx = 40 MPaσy = −40 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
25 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 250 N·m के बलाघूर्ण के साथ 70 kN का अक्षीय तनन बल वहन करता है। शाफ़्ट की सतह पर, अधिकतम तलीय अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 25 mmF = 70 kNT = 250 N·m
τmax = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और अपने मुक्त सिरे पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।
P = 13 kNw = 2 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम आलंब B से b = 2 m पर बिंदु भार P वहन करता है। मध्य-विस्तार पर विक्षेप δmid ज्ञात कीजिए।
P = 2 kNb = 2 mL = 6 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 25 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 25 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: ε = 2114 µε
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 85·1000/201.1 = 422.8 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 422.8/200000 = 0.002114 = 2114 µε
उत्तर
ε = 2114 µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 11.13 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 203.7 MPa
σ2 = 318.3 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 203.7·1000/100000 = 2.037 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 318.3·2000/70000 = 9.095 mm
δ = δ1 + δ2 = 11.13 mm
उत्तर
δ = 11.13 mm
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φC = 20.51 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय आघूर्ण
J1 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
हर खंड का मरोड़
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 200000·1500/(39000·79522) = 0.09673 rad
φBC = 200000·800/(39000·15708) = 0.2612 rad
कुल मरोड़
φC = 0.09673 + 0.2612 = 0.3579 rad = 20.51°
उत्तर
φC = 20.51°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 5.053 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।
संतुलन और संगतता
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·0.5/3.5 = 35.71 N·m
TB = 250·3/3.5 = 214.3 N·m
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
दोनों बलाघूर्णों में से बड़ा निर्णायक है (समान व्यास)।
τmax = 16·214286/(π·60³) = 5.053 MPa
उत्तर
τmax = 5.053 MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: C (x = 2 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 44 kN, R2 = 34 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = 40, MC = 72 kN·m, MD = 66, ME = 52, MF = 30, MG = 0
उत्तर
चिह्न C: MC = 72 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 5.176 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·6.5 = 13 kN, x̄ = 3.25 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·5 = 2·6.5·3.25
RB = 42.25/5 = 8.45 kN
ΣFy = 0: RA = 13 − 8.45 = 4.55 kN
शून्य अपरूपण
RA − w·x0 = 0 → x0 = 4.55/2 = 2.275 m
अधिकतम सैगिंग आघूर्ण
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 4.55²/(2·2) = 5.176 kN·m
उत्तर
Mmax = 5.176 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Sx = 2451 × 10³ mm³
क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = Ic + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है।
बाहरी आयत में से दोनों पार्श्व कटाव घटाकर
दोनों कटाव मिलकर (B − tw) चौड़े और hw = H − 2tf ऊँचे हैं, और उनकी अक्ष x एक ही है।
hw = 440 − 2·24 = 392 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (240·440³ − 232·392³)/12
Ix = 5.391 × 10⁸ mm⁴
खंड मापांक
c = H/2 = 220 mm
Sx = I/c = 5.391 × 10⁸/220
Sx = 2.451 × 10⁶ mm³ = 2451 × 10³ mm³
उत्तर
Sx = 2451 × 10³ mm³
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Mallow = 13.62 kN·m
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
केंद्रक
ȳ = (2000·250 + 4320·120)/6320 = 161.1 mm
ऊपरी कोर: c = 260 − 161.1 = 98.86 mm
क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण
I = 100·20³/12 + 2000·88.86² + 18·240³/12 + 4320·41.14² = 4.391 × 10⁷ mm⁴
हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण
सैगिंग: ऊपरी भाग संपीडन में, निचला भाग तनाव में।
ऊपरी कोर: M = 150·4.391 × 10⁷/98.86 = 66.62 kN·m
निचली कोर: M = 50·4.391 × 10⁷/161.1 = 13.62 kN·m
निर्णायक मान
Mallow = min = 13.62 kN·m (निचली कोर)
उत्तर
Mallow = 13.62 kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: θp = 18.43 °
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण
मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।
2θp = atan2(2·30, 40 − −40) = 36.87°
अवयव पर कोण
θp = 18.43°
उत्तर
θp = 18.43°
धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τmax = 108.3 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
सतह पर प्रतिबल
σ = F/A = 70000/(π·25²/4) = 70000/490.9 = 142.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
मोर वृत्त
C = σ/2 = 71.3 MPa
R = √(71.3² + 81.49²) = 108.3 MPa
उत्तर
τmax = 108.3 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δ = 4.612 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 13000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
हर भार अलग से
δP = PL³/(3EI) = 13000·2500³/(3·1.68 × 10¹³) = 4.03 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 0.5813 mm
जोड़ें
δ = 4.03 + 0.5813 = 4.612 mm
उत्तर
δ = 4.612 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: δmid = 19.36 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 2000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
मध्य विक्षेप
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 2000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·3.96 × 10¹¹) = 19.36 mm
उत्तर
δmid = 19.36 mm
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 73.69 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 2·1000 = 2000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2000² = 73693 N = 73.69 kN
उत्तर
Pcr = 73.69 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 37.49 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 37.49 mm
उत्तर
d = 37.49 mm
जाँच: तनुता KL/r = 186.7 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
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