पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 15 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 30 kNखंड 1: Ø30 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 1000 rpm पर 30 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 1000 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 1 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह आलंबों के बीच बिंदु भार P₁ और C पर बिंदु भार P₂ वहन करता है। भार P₁ के नीचे बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 9 mP₁ = 75 kN पर 5 mP₂ = 20 kN पर 9 mआलंब x = 0 और x = 8 m पर

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP = 50 kN पर 7 mw = 5 kN/m, 0 से 10 m तक

M_max = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 40 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_नीचे = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = 50 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

60 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 500 N·m के बलाघूर्ण के साथ 750 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 60 mmM = 750 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 1 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δ_P ज्ञात कीजिए।

P = 30 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 25 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.8162 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 15·1000/314.2 = 47.75 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 47.75/117000 = 0.0004081 = 408.1 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0004081·2000 mm = 0.8162 mm

उत्तर

δ = 0.8162 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 2.358 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 42.44 MPa

σ₂ = 95.49 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42.44·2000/117000 = 0.7255 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 95.49·2000/117000 = 1.632 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.358 mm

उत्तर

δ = 2.358 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 8.314 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·79522) = 0.1451 rad

φ = 0.1451·180/π = 8.314°

उत्तर

φ = 8.314°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 4.827 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 30000/104.7 = 286.5 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2.374 × 10⁶ mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·40/2.374 × 10⁶ = 4.827 MPa

उत्तर

τ_max = 4.827 MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 128.1 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन। ओवरहैंग का भार भी A के परितः कार्य करता है।

ΣM_A = 0: R_B·8 = 75·5 + 20·9

R_B = 555/8 = 69.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 69.38 = 25.63 kN

P₁ के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें

M_x = R_A·5 = 25.63·5 = 128.1 kN·m

उत्तर

M_x = 128.1 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 157.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·7 + 5·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 60 = 40 kN

V = 0 कहाँ है?

V(7⁻) = R_A − w·7 = 5 kN

V(7⁺) = 5 − 50 = −45 kN

भार पर अपरूपण का चिह्न बदलता है, इसलिए अधिकतम भार के नीचे है।

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·7 − w·7²/2 = 40·7 − 5·7²/2 = 157.5 kN·m

उत्तर

M_max = 157.5 kN·m

यह A से x = 7 m पर होता है।

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 33.61 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247.5 mm

वेब: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·247.5 + 2880·120)/4980 = 173.8 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 140·15³/12 + 2100·(247.5 − 173.8)² = 1.146 × 10⁷ mm⁴

वेब: 12·240³/12 + 2880·(120 − 173.8)² = 2.215 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.146 × 10⁷ + 2.215 × 10⁷ = 3.361 × 10⁷ mm⁴ = 33.61 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 33.61 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 194.9 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

वेब: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·255 + 2400·120)/10800 = 225 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 280·30³/12 + 8400·(255 − 225)² = 8.19 × 10⁶ mm⁴

वेब: 10·240³/12 + 2400·(120 − 225)² = 3.798 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.19 × 10⁶ + 3.798 × 10⁷ = 4.617 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 225 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·225/4.617 × 10⁷ = 194.9 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 194.9 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 32.02 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((50 − 100)/2)² + 20²) = 32.02 MPa

उत्तर

τ_max = 32.02 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 38.94 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·60³) = 35.37 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11.79 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 17.68 MPa

R = √(17.68² + 11.79²) = 21.25 MPa

σ₁ = C + R = 38.94 MPa

σ₂ = C − R = −3.569 MPa

उत्तर

σ₁ = 38.94 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_P = 1.701 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 30000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δ_P = Pa³/(3EI) = 30000·1000³/(3·5.88 × 10¹²) = 1.701 mm

उत्तर

δ_P = 1.701 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 100.4 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·5000⁴/(384·70000·13.89) = 1.004 × 10⁸ mm⁴

I_req = 100.4 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 100.4 × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 4.205 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·1500 = 3000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN

उत्तर

P_cr = 4.205 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 87.73 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87.73 MPa

उत्तर

σ_cr = 87.73 MPa

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पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

शाफ़्ट का मरोड़

विधि

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

विधि

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

विधि

बीम विक्षेप

स्तंभ बकलिंग

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

प्रतिबल

विकृति (हुक का नियम)

दीर्घीकरण

उत्तर

दोनों खंडों में समान बल

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

उत्तर

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

मरोड़ कोण

उत्तर

बलाघूर्ण

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

उत्तर

आलंब प्रतिक्रियाएँ

P1 के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें

उत्तर

आलंब प्रतिक्रियाएँ

V = 0 कहाँ है?

अधिकतम आघूर्ण

उत्तर

दो आयतों में बाँटें

केंद्रक

समांतर अक्ष प्रमेय

उत्तर

दो आयतों में बाँटें

केंद्रक

समांतर अक्ष प्रमेय

बंकन प्रतिबल

उत्तर

मोर वृत्त की त्रिज्या

उत्तर

सतह पर प्रतिबल

मोर वृत्त

उत्तर

एकरूप इकाइयाँ

भार के नीचे विक्षेप

उत्तर

विक्षेप सीमा

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

उत्तर

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

प्रभावी लंबाई

क्रांतिक भार

उत्तर

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

क्रांतिक प्रतिबल

उत्तर

P₁ के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें