पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 80 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 105 kNखंड 1: Ø30 mm, 1 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1 m, पीतल (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक सोपानी ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 60 mm और लंबाई 2 m है; खंड BC का व्यास 25 mm और लंबाई 3 m है। मुक्त सिरे C पर 250 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

T = 250 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2 md₂ = 25 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 500 rpm पर 50 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 50 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

55 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

40 kN @ 0 m10 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 40 MPa और संपीडन में 120 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा सैगिंग बंकन आघूर्ण M_allow ज्ञात कीजिए।

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 50 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 40° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।

σ_x = 50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 80 MPa और τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 275 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = 30 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.बीम विक्षेपमध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 1.5 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δ_P ज्ञात कीजिए।

P = 29 kNa = 1.5 mL = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम आलंब B से b = 1 m पर बिंदु भार P वहन करता है। बीम का अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 8 kNb = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 10.19 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78.54 = 1019 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1019/200000 = 0.005093 = 5093 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.005093·2000 mm = 10.19 mm

उत्तर

δ = 10.19 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 928.4 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 148.5 MPa

σ₂ = 928.4 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 928.4 MPa

उत्तर

σ_max = 928.4 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 81.49 MPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

हर खंड में प्रतिबल

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·60³) = 5.895 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa

उत्तर

τ_max = 81.49 MPa

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 38.14 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·30/751193 = 38.14 MPa

उत्तर

τ_max = 38.14 MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 6 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 75.5 kN, R₂ = 75.5 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 135, M_C = 238, M_D = 309 kN·m, M_E = 238, M_F = 135, M_G = 0

उत्तर

चिह्न D: M_D = 309 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: B (x = 2 m)

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 47.5 kN, R₂ = 2.5 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

M_A = 0, M_B = −80 kN·m, M_C = −65, M_D = −50, M_E = −35, M_F = −20, M_G = 0

उत्तर

चिह्न B: M_B = −80 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 42.37 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

वेब: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·285 + 3920·140)/4920 = 169.5 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 100·10³/12 + 1000·(285 − 169.5)² = 1.336 × 10⁷ mm⁴

वेब: 14·280³/12 + 3920·(140 − 169.5)² = 2.902 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.336 × 10⁷ + 2.902 × 10⁷ = 4.237 × 10⁷ mm⁴ = 42.37 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 42.37 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: M_allow = 4.025 kN·m

केंद्रक

ȳ = (1200·145 + 2800·70)/4000 = 92.5 mm

ऊपरी कोर: c = 150 − 92.5 = 57.5 mm

क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण

I = 120·10³/12 + 1200·52.5² + 20·140³/12 + 2800·22.5² = 9.308 × 10⁶ mm⁴

हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण

सैगिंग: ऊपरी भाग संपीडन में, निचला भाग तनाव में।

ऊपरी कोर: M = 120·9.308 × 10⁶/57.5 = 19.43 kN·m

निचली कोर: M = 40·9.308 × 10⁶/92.5 = 4.025 kN·m

निर्णायक मान

M_allow = min = 4.025 kN·m (निचली कोर)

उत्तर

M_allow = 4.025 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_y′ = −22.51 MPa

y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण

σ_y′ = 5 − 45·0.1736 − 20·0.9848 = −22.51 MPa

जाँच

घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।

σ_x′ = 32.51 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

उत्तर

σ_y′ = −22.51 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 3.814

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = 55 MPa, R = 26.93 MPa

σ₁ = 81.93 MPa, σ₂ = 28.07 MPa, σ₃ = 0

वॉन मीज़ेस

σ_vM = √(81.93² − 81.93·28.07 + 28.07²) = 72.11 MPa

n = 275/72.11 = 3.814

उत्तर

n = 3.814

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_P = 2.862 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 29000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δ_P = Pa³/(3EI) = 29000·1500³/(3·1.14 × 10¹³) = 2.862 mm

उत्तर

δ_P = 2.862 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 7.496 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 8000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

अधिकतम की स्थिति

लंबे खंड में प्रवणता को शून्य रखने से स्थिति मिलती है।

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

अधिकतम विक्षेप

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 7.496 mm

उत्तर

δ_max = 7.496 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 6.229 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6.229 kN

उत्तर

P_cr = 6.229 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 13.77 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/12.5 = 224

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13.77 MPa

उत्तर

σ_cr = 13.77 MPa

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