पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 50 kNd = 25 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 70 kNखंड 1: Ø35 mm, 1 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 2 m, पीतल (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक सोपानी ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 75 mm और लंबाई 1.2 m है; खंड BC का व्यास 50 mm और लंबाई 3 m है। मुक्त सिरे C पर 1500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C का मरोड़ कोण φ_C डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 1500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1.2 md₂ = 50 mm, L₂ = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 1500 rpm पर 75 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 75 kWN = 1500 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

सरल आलंबित बीम A से x = 3 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M₀ = 20 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक बाईं ओर बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 6 mM₀ = 20 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 3 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP = 55 kN पर 1 mw = 2 kN/m, 0 से 10 m तक

M_max = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

एक वेल्डित I-खंड का ऊपरी फ़्लेंज 140 × 24 mm, वेब 150 mm ऊँचा और 16 mm मोटा, और निचला फ़्लेंज 270 × 20 mm (चौड़ाई × मोटाई) है। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

ऊपरी फ़्लेंज: 140 × 24 mmवेब: 16 × 150 mmनिचला फ़्लेंज: 270 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 20 MPa और τₓᵧ = 10 MPa, σ_z = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_abs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।

σ_x = 100 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 60° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 3 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δ_B ज्ञात कीजिए।

P = 4 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम अपने तृतीयांश बिंदुओं (हर आलंब से L/3) पर दो बराबर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 13 kNL = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 870.6 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 50·1000/490.9 = 101.9 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 101.9/117000 = 0.0008706 = 870.6 µε

उत्तर

ε = 870.6 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 222.8 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 72.76 MPa

σ₂ = 222.8 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 222.8 MPa

उत्तर

σ_max = 222.8 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 5.668 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

हर खंड का मरोड़

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1.5 × 10⁶·1200/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.007243 rad

φ_BC = 1.5 × 10⁶·3000/(80000·613592) = 0.09167 rad

कुल मरोड़

φ_C = 0.007243 + 0.09167 = 0.09892 rad = 5.668°

उत्तर

φ_C = 5.668°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 7.679 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·37.5/2.332 × 10⁶ = 7.679 MPa

उत्तर

τ_max = 7.679 MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = −10 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: R_B·L − M₀ = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: R_A + R_B = 0।

R_B = M₀/L = 20/6 = 3.333 kN (ऊपर की ओर)

R_A = −R_B = −3.333 kN (नीचे की ओर)

बलयुग्म के ठीक बाईं ओर काटें

बाएँ भाग में केवल R_A है।

M_x = R_A·a = −3.333·3 = −10 kN·m

उत्तर

M_x = −10 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 60.06 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·1 + 2·10·5

R_B = 155/10 = 15.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 15.5 = 59.5 kN

V = 0 कहाँ है?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (59.5 − 55)/2 = 2.25 m

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 60.06 kN·m

उत्तर

M_max = 60.06 kN·m

यह A से x = 2.25 m पर होता है।

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 91.89 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

वेब: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·295 + 3920·140)/12920 = 248 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 300·30³/12 + 9000·(295 − 248)² = 2.058 × 10⁷ mm⁴

वेब: 14·280³/12 + 3920·(140 − 248)² = 7.131 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.058 × 10⁷ + 7.131 × 10⁷ = 9.189 × 10⁷ mm⁴ = 91.89 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 91.89 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 66.8 × 10⁶ mm⁴

तीन आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

ऊपरी फ़्लेंज: A = 3360 mm², y = 182 mm

वेब: A = 2400 mm², y = 95 mm

निचला फ़्लेंज: A = 5400 mm², y = 10 mm

केंद्रक

ȳ = (3360·182 + 2400·95 + 5400·10)/11160 = 80.06 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

ऊपरी फ़्लेंज: 140·24³/12 + 3360·101.9² = 3.507 × 10⁷ mm⁴

वेब: 16·150³/12 + 2400·14.94² = 5.035 × 10⁶ mm⁴

निचला फ़्लेंज: 270·20³/12 + 5400·70.06² = 2.669 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.507 × 10⁷ + 5.035 × 10⁶ + 2.669 × 10⁷

I_x = 6.68 × 10⁷ mm⁴ = 66.8 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 66.8 × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_abs = 50.62 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σ_max − σ_min)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।

तलीय मुख्य प्रतिबल

C = 60 MPa, R = √(40² + 10²) = 41.23 MPa

σ₁ = 101.2 MPa, σ₂ = 18.77 MPa, σ_z = 0

तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(82.46, 101.2, 18.77)/2 = 50.62 MPa

उत्तर

τ_abs = 50.62 MPa

यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = −49.46 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 5 + 5·−0.5 + −60·0.866 = −49.46 MPa

उत्तर

σ_θ = −49.46 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_B = 30 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 4000 N, a = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δ_P = Pa³/(3EI) = 15 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0075 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 30 mm

उत्तर

δ_B = 30 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 35.16 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 13000 N, L = 4000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

L/3 पर एक भार

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 17.58 mm

दोनों भार जोड़ें

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 35.16 mm

उत्तर

δ_max = 35.16 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 158.8 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158.8 kN

उत्तर

P_cr = 158.8 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 30.71 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa

उत्तर

σ_cr = 30.71 MPa

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