पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
Ø 20 mmस्टील1.5 mP = 10 kN

अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 30 mmपीतल1.5 mØ 16 mmएल्युमिनियम1.5 mP = 120 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।

P = 120 kNखंड 1: Ø30 mm, 1.5 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
T = 100 N·md = 30 mmL = 0.8 mφ = ?

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 100 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
Td = ?

एक ठोस शाफ़्ट को 300 rpm पर 100 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 75 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 100 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
M0​ = 30 kN·mAB5 m5 m

सरल आलंबित बीम A से x = 5 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M0 = 30 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक दाईं ओर बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 10 mM0 = 30 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 5 m
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 10 kN/mP = 10 kNABखंड4 m2 m

आलंब A से x = 4 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mP = 10 kN पर 4 mw = 10 kN/m, 0 से 6 m तकx = 4 m
Mx = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
B = 160H = 250t = 6xआयाम mm में

एक खोखले आयताकार (बॉक्स) खंड की बाहरी चौड़ाई B = 160 mm, बाहरी ऊँचाई H = 250 mm और एकसमान दीवार मोटाई t = 6 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

B = 160 mmH = 250 mmt = 6 mm
r = mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
2602028020xसैगिंग Mआयाम mm में

एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 40 MPa और संपीडन में 150 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा सैगिंग बंकन आघूर्ण Mallow ज्ञात कीजिए।

bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 280 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = 60σy​ = 100τxy​ = 60MPa

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa और τₓᵧ = 60 MPa, σz = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τabs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।

σx = 60 MPaσy = 100 MPaτxy = 60 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = −50σy​ = −60τxy​ = −40MPa

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −60 MPa और τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0)। वॉन मीज़ेस तुल्य प्रतिबल σvM ज्ञात कीजिए।

σx = −50 MPaσy = −60 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
w = 12 kN/mδL = 4 m

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (स्टील)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 12 kN/mδL = 3 m

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (स्टील)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 5 md = 30 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 30 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
PL = 1.5 md = 30 mmअनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm
σcr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.2387 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314.2 = 31.83 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 31.83/200000 = 0.0001592 = 159.2 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0001592·1500 mm = 0.2387 mm

उत्तर

δ = 0.2387 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σmax = 596.8 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 169.8 MPa
σ2 = 596.8 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σmax = 596.8 MPa

उत्तर

σmax = 596.8 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 1.478 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(39000·79522) = 0.0258 rad
φ = 0.0258·180/π = 1.478°

उत्तर

φ = 1.478°
4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 60.01 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·3.183 × 10⁶/(π·75)) = 60.01 mm

उत्तर

d = 60.01 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 15 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: RB·L − M0 = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: RA + RB = 0।

RB = M0/L = 30/10 = 3 kN (ऊपर की ओर)
RA = −RB = −3 kN (नीचे की ओर)

बलयुग्म के ठीक दाईं ओर काटें

बाएँ भाग में अब RA और बलयुग्म हैं।

Mx = RA·a + M0 = −3·5 + 30 = 15 kN·m

उत्तर

Mx = 15 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 53.33 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 10·4 + 10·6·3
RB = 220/6 = 36.67 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 36.67 = 33.33 kN
w = 10 kN/mP = 10 kNABRA​ = 33.33RB​ = 36.67खंड4 m2 m

x = 4 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 33.33·4 − 10·4·2 = 53.33 kN·m

उत्तर

Mx = 53.33 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: r = 93.85 mm

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = Ic + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।

शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण

b = 148 mm, h = 238 mm
A = BH − bh = 160·250 − 148·238 = 4776 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 4.206 × 10⁷ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या

r = √(I/A) = √(4.206 × 10⁷/4776) = 93.85 mm

उत्तर

r = 93.85 mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Mallow = 18.36 kN·m

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

केंद्रक

ȳ = (5200·290 + 5600·140)/10800 = 212.2 mm
ऊपरी कोर: c = 300 − 212.2 = 87.78 mm

क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण

I = 260·20³/12 + 5200·77.78² + 20·280³/12 + 5600·72.22² = 9.743 × 10⁷ mm⁴

हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण

सैगिंग: ऊपरी भाग संपीडन में, निचला भाग तनाव में।

ऊपरी कोर: M = 150·9.743 × 10⁷/87.78 = 166.5 kN·m
निचली कोर: M = 40·9.743 × 10⁷/212.2 = 18.36 kN·m

निर्णायक मान

Mallow = min = 18.36 kN·m (निचली कोर)

उत्तर

Mallow = 18.36 kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τabs = 71.62 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σmax − σmin)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।

στxyCσ1​σ2​

तलीय मुख्य प्रतिबल

C = 80 MPa, R = √((−20)² + 60²) = 63.25 MPa
σ1 = 143.2 MPa, σ2 = 16.75 MPa, σz = 0

तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(126.5, 143.2, 16.75)/2 = 71.62 MPa

उत्तर

τabs = 71.62 MPa

यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σvM = 88.88 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।

στxyCσ1​σ2​

मुख्य प्रतिबल

C = −55 MPa, R = 40.31 MPa
σ1 = −14.69 MPa, σ2 = −95.31 MPa, σ3 = 0

वॉन मीज़ेस

σvM = √((−14.69)² − (−14.69)·(−95.31) + (−95.31)²) = 88.88 MPa

उत्तर

σvM = 88.88 MPa
11.बीम विक्षेप

उत्तर: δmax = 16.67 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 16.67 mm

उत्तर

δmax = 16.67 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: Ireq = 7.594 × 10⁶ mm⁴

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

विक्षेप सीमा

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·3000⁴/(384·200000·8.333) = 7.594 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7.594 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ireq = 7.594 × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 12.56 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12.56 kN

उत्तर

Pcr = 12.56 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σcr = 69.09 MPa

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·1500 = 750 mm
KL/r = 750/7.5 = 100

क्रांतिक प्रतिबल

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

उत्तर

σcr = 69.09 MPa

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