पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एल्युमिनियम छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 110 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 50 kNखंड 1: Ø40 mm, 0.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1.5 m, पीतल (E = 100 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 250 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस स्टील शाफ़्ट 750 rpm पर 5 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.25° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 4 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 5 mw = 8 kN/m, 0 से 5 m तकx = 4 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच A से प्रतिनमन बिंदु (जहाँ बंकन आघूर्ण का चिह्न बदलता है) तक की दूरी x_c ज्ञात कीजिए।

L = 6 mw = 5 kN/m, 0 से 6 m तकआलंब x = 0 और x = 4 m पर

x_c = m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 10 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_नीचे = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 90 MPa, σᵧ = −60 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 60° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।

σ_x = 90 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa और τₓᵧ = −50 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 15° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 75 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/250 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 75 mm

h_req = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 3201 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 110·1000/490.9 = 224.1 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for एल्युमिनियम = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 224.1/70000 = 0.003201 = 3201 µε

उत्तर

ε = 3201 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 6.801 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 39.79 MPa

σ₂ = 442.1 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39.79·500/117000 = 0.17 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442.1·1500/100000 = 6.631 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6.801 mm

उत्तर

δ = 6.801 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 1.801 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(80000·79522) = 0.03144 rad

φ = 0.03144·180/π = 1.801°

उत्तर

φ = 1.801°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 36.92 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 5000/78.54 = 63.66 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 63.66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·40)) = 20.09 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 36.92 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(20.09, 36.92) = 36.92 mm

उत्तर

d = 36.92 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 16 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2.5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

x = 4 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 20·4 − 8·4·2 = 16 kN·m

उत्तर

M_x = 16 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: x_c = 3 m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·6·3

R_B = 90/4 = 22.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 22.5 = 7.5 kN

शून्य आघूर्ण

आलंबों के बीच M(x) = R_A·x − w·x²/2। x = 0 के अलावा यह x = 2R_A/w पर शून्य है।

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·7.5/5 = 3 m

उत्तर

x_c = 3 m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 8.271 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

वेब: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·155 + 1120·70)/4720 = 134.8 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 120·30³/12 + 3600·(155 − 134.8)² = 1.735 × 10⁶ mm⁴

वेब: 8·140³/12 + 1120·(70 − 134.8)² = 6.537 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.735 × 10⁶ + 6.537 × 10⁶ = 8.271 × 10⁶ mm⁴ = 8.271 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 8.271 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 50.75 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

वेब: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·225 + 3520·110)/5120 = 145.9 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 160·10³/12 + 1600·(225 − 145.9)² = 1.001 × 10⁷ mm⁴

वेब: 16·220³/12 + 3520·(110 − 145.9)² = 1.874 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.001 × 10⁷ + 1.874 × 10⁷ = 2.876 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 145.9 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·145.9/2.876 × 10⁷ = 50.75 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 50.75 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_y′ = 87.14 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण

σ_y′ = 15 − 75·(−0.5) − (−40)·0.866 = 87.14 MPa

जाँच

घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।

σ_x′ = −57.14 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

उत्तर

σ_y′ = 87.14 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 4.33 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 25 + 5·0.866 + −50·0.5 = 4.33 MPa

उत्तर

σ_θ = 4.33 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 23.01 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 23.01 mm

उत्तर

δ = 23.01 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 260.9 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·20) = 1.11 × 10⁸ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·1.11 × 10⁸/75)^1/3 = 260.9 mm

उत्तर

h_req = 260.9 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 14.06 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4200² = 14062 N = 14.06 kN

उत्तर

P_cr = 14.06 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 8.567 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/6.25 = 480

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

उत्तर

σ_cr = 8.567 MPa

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