पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
Ø 20 mmताँबा2 mP = 110 kN

अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 110 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
P = ?Ø25110 GPaØ100/60500 mm

एक स्टील छड़ (व्यास 25 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 160 MPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 110 GPa, अनुमेय प्रतिबल 60 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार Pmax ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
T = 100 N·md = 50 mmL = 1.5 mφ = ?

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 100 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
d = 50 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 1.2 mb = 3 m

50 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 1.2 m और B से 3 m पर C पर 2000 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। खंड C का घूर्णन कोण φC डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 50 mmT0 = 2000 N·ma = 1.2 mb = 3 mG = 39 GPa
φC = °
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
M0​ = 55 kN·mAB1.5 m3.5 m

सरल आलंबित बीम A से x = 1.5 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M0 = 55 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक बाईं ओर बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 5 mM0 = 55 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 1.5 m
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
10 kN/m10 kN55 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

10 kN @ 0 m55 kN @ 12 m50 kN @ 4 m10 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
200 mm200 mm70 mmØ40xIx​ = ?

200 mm × 200 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 40 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 70 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
2801522010xM = 5 kN·mआयाम mm में

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 5 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 220 mmM = 5 kN·m
σऊपर = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = 60σy​ = 40τxy​ = 50MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 60 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σx = 60 MPaσy = 40 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = −10σy​ = 20τxy​ = −40MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 40° वामावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σx = −10 MPaσy = 20 MPaτxy = −40 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
P = 11 kNABδ1 m3 m

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 1 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δB ज्ञात कीजिए।

P = 11 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 6 kN/mAB8 m

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। स्थिर सिरे पर बंकन आघूर्ण MA का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 8 mw = 6 kN/m
MA = kN·m
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 2.5 m25 × 80 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 40 kNL = 2 md = ?अनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 40 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 40 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 5.985 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 110·1000/314.2 = 350.1 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 350.1/117000 = 0.002993 = 2993 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.002993·2000 mm = 5.985 mm

उत्तर

δ = 5.985 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: Pmax = 355.1 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.0008, 0.0005455) = 0.0005455 (काँसा)

सबसे बड़ा भार

Pmax = 0.0005455·6.511 × 10⁸ = 355143 N = 355.1 kN

उत्तर

Pmax = 355.1 kN
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 0.3591 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·613592) = 0.006268 rad
φ = 0.006268·180/π = 0.3591°

उत्तर

φ = 0.3591°
4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φC = 4.105 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।

संतुलन और संगतता

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·3/4.2 = 1429 N·m
TB = 2000·1.2/4.2 = 571.4 N·m

C का घूर्णन

खंड AC का उपयोग करें: यह A पर स्थिर है और TA वहन करता है।

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 1.429 × 10⁶·1200/(39000·613592) = 0.07164 rad = 4.105°

उत्तर

φC = 4.105°
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = −16.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: RB·L − M0 = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: RA + RB = 0।

RB = M0/L = 55/5 = 11 kN (ऊपर की ओर)
RA = −RB = −11 kN (नीचे की ओर)

बलयुग्म के ठीक बाईं ओर काटें

बाएँ भाग में केवल RA है।

Mx = RA·a = −11·1.5 = −16.5 kN·m

उत्तर

Mx = −16.5 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: F (x = 10 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 76.25 kN, R2 = 118.8 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = −20, MC = 92.5, MD = 65, ME = −2.5, MF = −110 kN·m, MG = 0

उत्तर

चिह्न F: MF = −110 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 132 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (40000·100 − 1257·70)/(40000 − 1257) = 101 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

200·200³/12 + 40000·−0.973² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·40⁴/64 + 1257·−30.97² = 1.331 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 132 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 132 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σऊपर = 8.29 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 220 + 15/2 = 227.5 mm
वेब: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

केंद्रक

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·227.5 + 2200·110)/6400 = 187.1 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 280·15³/12 + 4200·(227.5 − 187.1)² = 6.931 × 10⁶ mm⁴
वेब: 10·220³/12 + 2200·(110 − 187.1)² = 2.195 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.931 × 10⁶ + 2.195 × 10⁷ = 2.888 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 235 − 187.1 = 47.89 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·47.89/2.888 × 10⁷ = 8.29 MPa

उत्तर

σऊपर = 8.29 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θp = 39.35 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCσ1​σ2​

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θp = atan2(2·50, 60 − 40) = 78.69°

अवयव पर कोण

θp = 39.35°

उत्तर

θp = 39.35°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τθ = 7.826 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

रूपांतरण समीकरण

τθ = −−15·0.9848 + −40·0.1736 = 7.826 MPa

उत्तर

τθ = 7.826 MPa
11.बीम विक्षेप

उत्तर: δB = 3.43 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 11000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δP = Pa³/(3EI) = 0.6236 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.0009354 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3.43 mm

उत्तर

δB = 3.43 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: MA = 48 kN·m

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δload = wL⁴/(8EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·8/8 = 18 kN

स्थिर सिरे पर आघूर्ण

भारों और टेक बल के A के परितः आघूर्ण।

MA = wL²/2 − RB·L = 192 − 144 = 48 kN·m

उत्तर

MA = 48 kN·m
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 131.6 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1250² = 131595 N = 131.6 kN

उत्तर

Pcr = 131.6 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 35.67 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 35.67 mm

उत्तर

d = 35.67 mm

जाँच: तनुता KL/r = 157 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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