पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत एल्युमिनियम छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और पीतल का बना खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 200 mm, E = 100 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 40 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

40 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 1.5 m पर B पर 500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 0.5 m और आगे मुक्त सिरे C पर उसी दिशा में 750 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φ_C का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 750 N·mAB = 1.5 mBC = 0.5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

25 kN @ 10 m60 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP = 55 kN पर 1 mw = 3 kN/m, 0 से 5 m तक

M_max = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

100 mm × 200 mm की एक प्लेट में 60 mm चौड़ा और 30 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 120 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 100 mmh = 200 mmकटाव: 60 × 30 mmछिद्र का केंद्र: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 50° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

400 mm भीतरी व्यास और 5 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 2 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 60° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के आर-पार कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σ_n ज्ञात कीजिए।

D = 400 mmt = 5 mmp = 2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 100 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/250 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 2.5 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 100 mm

h_req = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 75 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 75 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.2021 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706.9 = 14.15 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for एल्युमिनियम = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 14.15/70000 = 0.0002021 = 202.1 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0002021·1000 mm = 0.2021 mm

उत्तर

δ = 0.2021 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 13.64 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 40000·628319/1.466 × 10⁶ = 17143 N

प्रतिबल

σ₂ = 17143/1257 = 13.64 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 13.64 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 2.702 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·79522) = 0.04716 rad

φ = 0.04716·180/π = 2.702°

उत्तर

φ = 2.702°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 13.15 °

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 500 = 1250 N·m

हर खंड का मरोड़

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1.25 × 10⁶·1500/(39000·251327) = 0.1913 rad

φ_BC = 750000·500/(39000·251327) = 0.03826 rad

सिरे C का मरोड़

φ_C = 0.1913 + 0.03826 = 0.2296 rad → |φ_C| = 13.15°

उत्तर

φ_C = 13.15°

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 8 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 24.17 kN, R₂ = 60.83 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 48.33, M_C = 96.67, M_D = 145, M_E = 193.3 kN·m, M_F = 121.7, M_G = 0

उत्तर

चिह्न E: M_E = 193.3 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 50 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 3·5·2.5

R_B = 92.5/5 = 18.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 18.5 = 51.5 kN

V = 0 कहाँ है?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 48.5 kN

V(1⁺) = 48.5 − 55 = −6.5 kN

भार पर अपरूपण का चिह्न बदलता है, इसलिए अधिकतम भार के नीचे है।

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 51.5·1 − 3·1²/2 = 50 kN·m

उत्तर

M_max = 50 kN·m

यह A से x = 1 m पर होता है।

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 15.58 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192.5 mm

वेब: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·192.5 + 1440·90)/5940 = 167.7 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 180·25³/12 + 4500·(192.5 − 167.7)² = 3.013 × 10⁶ mm⁴

वेब: 8·180³/12 + 1440·(90 − 167.7)² = 1.257 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.013 × 10⁶ + 1.257 × 10⁷ = 1.558 × 10⁷ mm⁴ = 15.58 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 15.58 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 65.74 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (20000·100 − 1800·120)/(20000 − 1800) = 98.02 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

100·200³/12 + 20000·1.978² = 66.74 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

60·30³/12 + 1800·21.98² = 1.004 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 65.74 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 65.74 × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_y′ = 103.6 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण

σ_y′ = 35 − 55·(−0.1736) − (−60)·0.9848 = 103.6 MPa

जाँच

घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।

σ_x′ = −33.64 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

उत्तर

σ_y′ = 103.6 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_n = 50 MPa

दीवार के प्रतिबल

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2·200/5 = 80 MPa

σ_a = pr/(2t) = 40 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

σ_n = 40·sin²60° + 80·cos²60° = 50 MPa

उत्तर

σ_n = 50 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 5.261 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

विक्षेप

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 5.261 mm

उत्तर

δ_max = 5.261 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 156.1 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 2.5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·3500⁴/(384·11000·14) = 3.172 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·3.172 × 10⁷/100)^1/3 = 156.1 mm

उत्तर

h_req = 156.1 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 17.69 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1250² = 17686 N = 17.69 kN

उत्तर

P_cr = 17.69 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 72.29 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 72.29 mm

उत्तर

d = 72.29 mm

जाँच: तनुता KL/r = 232.4 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials