पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
Ø 10 mmताँबा3 mP = 60 kN

अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 60 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 35 mmपीतल0.5 mØ 16 mmताँबा1.5 mP = 60 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।

P = 60 kNखंड 1: Ø35 mm, 0.5 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
d = ?T = 1000 N·mL = 1.5 m

1.5 m लंबा एक ठोस पीतल शाफ़्ट 1000 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 3° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 1000 N·mL = 1.5 mG = 39 GPaφallow = 3°
d = mm
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
d = ?15 kW, 1450 rpm

एक ठोस स्टील शाफ़्ट 1450 rpm पर 15 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 80 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.5° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0.5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
15 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

15 kN @ 2 m25 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 2 kN/mABC5 m2 m

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच अधिकतम सैगिंग बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।

L = 7 mw = 2 kN/m, 0 से 7 m तकआलंब x = 0 और x = 5 m पर
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
2802018010xआयाम mm में

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
100 mm200 mm80 mm60 × 30xIx​ = ?

100 mm × 200 mm की एक प्लेट में 60 mm चौड़ा और 30 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 80 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 100 mmh = 200 mmकटाव: 60 × 30 mmछिद्र का केंद्र: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = −20σy​ = 10τxy​ = 60MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa, σᵧ = 10 MPa और τₓᵧ = 60 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

σx = −20 MPaσy = 10 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = 130σy​ = −50τxy​ = 30MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 130 MPa, σᵧ = −50 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 35° वामावर्त घुमाया गया है।

σx = 130 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
w = 6 kN/mABθ1.5 m

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। आलंब A पर बीम की प्रवणता θA रेडियन में ज्ञात कीजिए।

w = 6 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.बीम विक्षेपकठिन
P = 55 kNAB2 m2 m

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह मध्य-विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। EI स्थिर है। टेक पर प्रतिक्रिया RB ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 55 kN पर 2 m
RB = kN
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 1 m25 × 50 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 135 kNL = 1.5 md = ?अनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 135 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 135 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 19.59 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 60·1000/78.54 = 763.9 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 763.9/117000 = 0.006529 = 6529 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.006529·3000 mm = 19.59 mm

उत्तर

δ = 19.59 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σmax = 298.4 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 62.36 MPa
σ2 = 298.4 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σmax = 298.4 MPa

उत्तर

σmax = 298.4 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 52.3 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 3·π/180 = 0.05236 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1500/(39000·0.05236) = 734561 mm⁴

व्यास

d = (32J/π)1/4 = 52.3 mm

उत्तर

d = 52.3 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 34.65 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 98.79 N·m = 98786 N·mm
dτ = ∛(16·98786/(π·80)) = 18.46 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·98786/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 34.65 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(18.46, 34.65) = 34.65 mm

उत्तर

d = 34.65 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 8 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 20.83 kN, R2 = 19.17 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = 41.67, MC = 53.33, MD = 65, ME = 76.67 kN·m, MF = 38.33, MG = 0

उत्तर

चिह्न E: ME = 76.67 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mmax = 4.41 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, x̄ = 3.5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·5 = 2·7·3.5
RB = 49/5 = 9.8 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 9.8 = 4.2 kN

शून्य अपरूपण

RA − w·x0 = 0 → x0 = 4.2/2 = 2.1 m

अधिकतम सैगिंग आघूर्ण

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 4.2²/(2·2) = 4.41 kN·m

उत्तर

Mmax = 4.41 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 18.67 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
वेब: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm

केंद्रक

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·190 + 1800·90)/7400 = 165.7 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 280·20³/12 + 5600·(190 − 165.7)² = 3.5 × 10⁶ mm⁴
वेब: 10·180³/12 + 1800·(90 − 165.7)² = 1.517 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.5 × 10⁶ + 1.517 × 10⁷ = 1.867 × 10⁷ mm⁴ = 18.67 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 18.67 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 65.74 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (20000·100 − 1800·80)/(20000 − 1800) = 102 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

100·200³/12 + 20000·−1.978² = 66.74 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

60·30³/12 + 1800·−21.98² = 1.004 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 65.74 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 65.74 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τmax = 61.85 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCτmax​

मोर वृत्त की त्रिज्या

τmax = R = √(((−20 − 10)/2)² + 60²) = 61.85 MPa

उत्तर

τmax = 61.85 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σθ = 98.97 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

रूपांतरण समीकरण

σθ = 40 + 90·0.342 + 30·0.9397 = 98.97 MPa

उत्तर

σθ = 98.97 MPa
11.बीम विक्षेप

उत्तर: θA = 0.002131 rad

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। प्रवणता θ = dv/dx, M/(EI) का प्रथम समाकल है; संगत इकाइयों में यह रेडियन में आती है।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 6 N/mm, L = 1500 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

सिरा प्रवणता

θA = wL³/(24EI) = 6·1500³/(24·3.96 × 10¹¹) = 0.002131 rad

उत्तर

θA = 0.002131 rad

यह 0.1221° है।

12.बीम विक्षेप

उत्तर: RB = 17.19 kN

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·55/16 = 17.19 kN

उत्तर

RB = 17.19 kN
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 32.13 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·1000 = 2000 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/2000² = 32128 N = 32.13 kN

उत्तर

Pcr = 32.13 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 44.27 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 0.7·1500 = 1050 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 44.27 mm

उत्तर

d = 44.27 mm

जाँच: तनुता KL/r = 94.88 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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