पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 120 GPa) के भीतर है। दोनों 500 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 50 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 50 kNछड़: Ø40 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 50 kNखंड 1: Ø40 mm, 2 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट 1450 rpm पर 5 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 50 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 1° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

कैंटिलीवर A पर स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और A से 2 m पर बिंदु भार P वहन करता है। स्थिर आलंब A पर बंकन आघूर्ण M_A ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 2 mP = 30 kN पर 2 mw = 2 kN/m, 0 से 2 m तक

M_A = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 2 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 5 mP = 55 kN पर 1 mw = 10 kN/m, 0 से 5 m तकx = 2 m

M_x = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

100 mm × 200 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 30 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 120 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmछिद्र का केंद्र: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 35 MPa और संपीडन में 90 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा हॉगिंग बंकन आघूर्ण M_allow ज्ञात कीजिए (उसका परिमाण दें)।

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = −60 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = −60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 0 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = −10 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 15° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 0 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। आलंब A पर बीम की प्रवणता θ_A रेडियन में ज्ञात कीजिए।

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 26 kNw = 6 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.02609 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5890 = 9.582 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 50000·500/9.582 × 10⁸ = 0.02609 mm

उत्तर

δ = 0.02609 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 6.714 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 39.79 MPa

σ₂ = 442.1 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39.79·2000/200000 = 0.3979 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442.1·1000/70000 = 6.316 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6.714 mm

उत्तर

δ = 6.714 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 1.441 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(80000·79522) = 0.02515 rad

φ = 0.02515·180/π = 1.441°

उत्तर

φ = 1.441°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 29.32 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 5000/151.8 = 32.93 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 32.93 N·m = 32929 N·mm

d_τ = ∛(16·32929/(π·50)) = 14.97 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·32929/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 29.32 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(14.97, 29.32) = 29.32 mm

उत्तर

d = 29.32 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_A = −64 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

मुक्त-सिरे वाला भाग रखें

P: −30·2 = −60 kN·m

w: −2·2²/2 = −4 kN·m

M_A = −60 − 4 = −64 kN·m

उत्तर

M_A = −64 kN·m

ऋणात्मक का अर्थ है हॉगिंग: ऊपरी फलक पर तनाव।

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 63 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 10·5·2.5

R_B = 180/5 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 36 = 69 kN

x = 2 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 69·2 − 55·(2 − 1) − 10·2·1 = 63 kN·m

उत्तर

M_x = 63 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 66.33 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (20000·100 − 706.9·120)/(20000 − 706.9) = 99.27 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

100·200³/12 + 20000·0.7328² = 66.68 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·30⁴/64 + 706.9·20.73² = 0.3436 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 66.33 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 66.33 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: M_allow = 9.855 kN·m

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

केंद्रक

ȳ = (4000·190 + 1800·90)/5800 = 159 mm

ऊपरी कोर: c = 200 − 159 = 41.03 mm

क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण

I = 200·20³/12 + 4000·31.03² + 10·180³/12 + 1800·68.97² = 1.741 × 10⁷ mm⁴

हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण

हॉगिंग: ऊपरी भाग तनाव में, निचला भाग संपीडन में।

ऊपरी कोर: M = 35·1.741 × 10⁷/41.03 = 14.85 kN·m

निचली कोर: M = 90·1.741 × 10⁷/159 = 9.855 kN·m

निर्णायक मान

M_allow = min = 9.855 kN·m (निचली कोर)

उत्तर

M_allow = 9.855 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = 16.85 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = 30/36.06 = 0.8321, sin 2θ_s = −(−20)/36.06 = 0.5547

2θ_s = atan2(20, 30) = 33.69°

अवयव पर कोण

θ_s = 16.85°

जाँच: θ_s − θ_p = 16.85 − 61.85 = −45°

उत्तर

θ_s = 16.85°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 2.369 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 55 + −55·0.866 + −10·0.5 = 2.369 MPa

उत्तर

σ_θ = 2.369 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: θ_A = 0.008571 rad

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। प्रवणता θ = dv/dx, M/(EI) का प्रथम समाकल है; संगत इकाइयों में यह रेडियन में आती है।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

सिरा प्रवणता

θ_A = wL³/(24EI) = 8·6000³/(24·8.4 × 10¹²) = 0.008571 rad

उत्तर

θ_A = 0.008571 rad

यह 0.4911° है।

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 3.737 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 26000 N, w = 6 N/mm, L = 1500 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·1500³/(48·5.95 × 10¹¹) = 3.072 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·1500⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 0.6647 mm

जोड़ें

δ_max = 3.072 + 0.6647 = 3.737 mm

उत्तर

δ_max = 3.737 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 3.454 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·6000 = 6000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3.454 kN

उत्तर

P_cr = 3.454 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 4.318 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

उत्तर

σ_cr = 4.318 MPa

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