पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक स्टील छड़ (व्यास 30 mm, E = 200 GPa) पीतल की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 100 GPa) के भीतर है। दोनों 600 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 80 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 80 kNछड़: Ø30 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील छड़ (व्यास 20 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 120 MPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 70 mm, E = 110 GPa, अनुमेय प्रतिबल 70 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार P_max ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaनलिका: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट 750 rpm पर 50 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 50 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.25° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 0.5 m पर खंड में अपरूपण बल V_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mw = 3 kN/m, 0 से 6 m तकx = 0.5 m

V_x = kN

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 1 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 8 mP = 15 kN पर 1 mw = 6 kN/m, 0 से 8 m तकx = 1 m

M_x = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 30 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_ऊपर = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = −70 MPa, σᵧ = −70 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 35° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।

σ_x = −70 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

400 mm भीतरी व्यास और 5 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 2 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 35° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के आर-पार कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σ_n ज्ञात कीजिए।

D = 400 mmt = 5 mmp = 2 MPaα = 35°

σ_n = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और अपने मुक्त सिरे पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

P = 27 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 15 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.0485 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·8482 = 9.896 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 80000·600/9.896 × 10⁸ = 0.0485 mm

उत्तर

δ = 0.0485 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P_max = 302.1 kN

क्षेत्रफल

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·4006 = 5.034 × 10⁸ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.0006, 0.0006364) = 0.0006 (स्टील)

सबसे बड़ा भार

P_max = 0.0006·5.034 × 10⁸ = 302064 N = 302.1 kN

उत्तर

P_max = 302.1 kN

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 2.771 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(26000·79522) = 0.04837 rad

φ = 0.04837·180/π = 2.771°

उत्तर

φ = 2.771°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 86.95 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 636.6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·50)) = 40.18 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 86.95 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(40.18, 86.95) = 86.95 mm

उत्तर

d = 86.95 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: V_x = 7.5 kN

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

x = 0.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

V = R_A − (कट के बाईं ओर सभी नीचे की ओर भार)

V_x = 9 − 3·0.5 = 7.5 kN

उत्तर

V_x = 7.5 kN

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 34.13 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·1 + 6·8·4

R_B = 207/8 = 25.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 25.88 = 37.13 kN

x = 1 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 37.13·1 − 6·1·0.5 = 34.13 kN·m

उत्तर

M_x = 34.13 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 57.32 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

वेब: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·305 + 3000·150)/5800 = 224.8 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 280·10³/12 + 2800·(305 − 224.8)² = 1.802 × 10⁷ mm⁴

वेब: 10·300³/12 + 3000·(150 − 224.8)² = 3.93 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.802 × 10⁷ + 3.93 × 10⁷ = 5.732 × 10⁷ mm⁴ = 57.32 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 57.32 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 167.8 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

वेब: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·145 + 2800·70)/4200 = 95 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 140·10³/12 + 1400·(145 − 95)² = 3.512 × 10⁶ mm⁴

वेब: 20·140³/12 + 2800·(70 − 95)² = 6.323 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3.512 × 10⁶ + 6.323 × 10⁶ = 9.835 × 10⁶ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 150 − 95 = 55 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·55/9.835 × 10⁶ = 167.8 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 167.8 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_y′ = −32.41 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण

σ_y′ = −70 − 0·0.342 − (−40)·0.9397 = −32.41 MPa

जाँच

घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।

σ_x′ = −107.6 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −140 = σ_x + σ_y

उत्तर

σ_y′ = −32.41 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_n = 66.84 MPa

दीवार के प्रतिबल

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2·200/5 = 80 MPa

σ_a = pr/(2t) = 40 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

σ_n = 40·sin²35° + 80·cos²35° = 66.84 MPa

उत्तर

σ_n = 66.84 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 77.27 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 27000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(3EI) = 27000·2000³/(3·1.32 × 10¹²) = 54.55 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 22.73 mm

जोड़ें

δ = 54.55 + 22.73 = 77.27 mm

उत्तर

δ = 77.27 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 59.89 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·5000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 42.28 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 17.61 mm

जोड़ें

δ_max = 42.28 + 17.61 = 59.89 mm

उत्तर

δ_max = 59.89 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 47.98 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·1500 = 3000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/3000² = 47977 N = 47.98 kN

उत्तर

P_cr = 47.98 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 44.76 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/5 = 210

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44.76 MPa

उत्तर

σ_cr = 44.76 MPa

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