अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो ताँबा के बने खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 200 mm, E = 120 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.4 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।
P = 55 kNखंड 1: Ø35 mm, 1.5 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)
δ = mm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक सोपानी ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 75 mm और लंबाई 0.8 m है; खंड BC का व्यास 20 mm और लंबाई 3 m है। मुक्त सिरे C पर 400 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
T = 400 N·md1 = 75 mm, L1 = 0.8 md2 = 20 mm, L2 = 3 m
τmax = MPa
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
50 mm व्यास वाला एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 3 m और B से 2 m पर C पर 500 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
d = 50 mmT0 = 500 N·ma = 3 mb = 2 m
τmax = MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
35 kN @ 1 m8 kN/m, 0–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।
30 kN @ 6 m30 kN @ 1 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
एक वृत्ताकार नली का बाहरी व्यास D = 60 mm और भीतरी व्यास d = 36 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।
D = 60 mmd = 36 mm
r = mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 5 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σनीचे ज्ञात कीजिए।
bf = 200 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 220 mmM = 5 kN·m
σनीचे = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
एक बिंदु पर σₓ = −70 MPa, σᵧ = 60 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 15° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σy′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।
σx = −70 MPaσy = 60 MPaτxy = −30 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° वामावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।
σx = −80 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaθ = 45°
τθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक सरल आलंबित बीम आलंब A से a = 1.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δP ज्ञात कीजिए।
P = 5 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।
w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 85 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 85 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 47.23 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706.9) = 2.358 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.4/8.469 × 10⁻⁶ = 47229 N = 47.23 kN
उत्तर
P = 47.23 kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 5.105 mm
अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।
दोनों खंडों में समान बल
मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 57.17 MPa
σ2 = 273.5 MPa
खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें
δ1 = σ1L1/E1 = 57.17·1500/200000 = 0.4287 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 273.5·2000/117000 = 4.676 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.105 mm
उत्तर
δ = 5.105 mm
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 254.6 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
हर खंड में प्रतिबल
T = 400 N·m = 400000 N·mm
τAB = 16·400000/(π·75³) = 4.829 MPa
τBC = 16·400000/(π·20³) = 254.6 MPa
उत्तर
τmax = 254.6 MPa
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: τmax = 12.22 MPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।
संतुलन और संगतता
TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·2/5 = 200 N·m
TB = 500·3/5 = 300 N·m
अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
दोनों बलाघूर्णों में से बड़ा निर्णायक है (समान व्यास)।
τmax = 16·300000/(π·50³) = 12.22 MPa
उत्तर
τmax = 12.22 MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: C (x = 2 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 50.5 kN, R2 = 16.5 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = 46.5, MC = 50 kN·m, MD = 45.5, ME = 33, MF = 16.5, MG = 0
उत्तर
चिह्न C: MC = 50 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: E (x = 4 m)
सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।
R1 = 7.5 kN, R2 = 52.5 kN
हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण
कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।
MA = 0, MB = 7.5, MC = −15, MD = −37.5, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0
उत्तर
चिह्न E: ME = −60 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: r = 17.49 mm
क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = Ic + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।
शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण
A = π(D² − d²)/4 = 1810 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 553725 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या
r = √(I/A) = √(553725/1810) = 17.49 mm
उत्तर
r = 17.49 mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: σनीचे = 17.39 MPa
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
दो आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
फ़्लेंज: Af = 200·20 = 4000 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
वेब: Aw = 20·220 = 4400 mm², yw = 220/2 = 110 mm
केंद्रक
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·230 + 4400·110)/8400 = 167.1 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
फ़्लेंज: 200·20³/12 + 4000·(230 − 167.1)² = 1.594 × 10⁷ mm⁴
वेब: 20·220³/12 + 4400·(110 − 167.1)² = 3.211 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.594 × 10⁷ + 3.211 × 10⁷ = 4.805 × 10⁷ mm⁴
बंकन प्रतिबल
निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।
y = 167.1 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·167.1/4.805 × 10⁷ = 17.39 MPa
उत्तर
σनीचे = 17.39 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σy′ = 66.29 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण
σy′ = −5 − (−65)·0.866 − (−30)·0.5 = 66.29 MPa
जाँच
घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।
σx′ = −76.29 MPa, σx′ + σy′ = −10 = σx + σy
उत्तर
σy′ = 66.29 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τθ = 45 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
τθ = −−45·1 + 30·0 = 45 MPa
उत्तर
τθ = 45 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δP = 2.303 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 5000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
भार के नीचे विक्षेप
δP = Pa²b²/(3EIL) = 5000·1500²·3500²/(3·3.99 × 10¹²·5000) = 2.303 mm
उत्तर
δP = 2.303 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: Ireq = 10.85 × 10⁶ mm⁴
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
विक्षेप सीमा
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
आवश्यक जड़त्व आघूर्ण
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·3000⁴/(384·70000·8.333) = 1.085 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 10.85 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ireq = 10.85 × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 90.64 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1400² = 90639 N = 90.64 kN
उत्तर
Pcr = 90.64 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: d = 61.96 mm
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
आवश्यक क्रांतिक भार
Pcr = n·P = 3·85000 = 255000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
व्यास के लिए हल करें
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 61.96 mm
उत्तर
d = 61.96 mm
जाँच: तनुता KL/r = 90.38 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।
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