पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 80 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और पीतल का बना खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 500 mm, E = 100 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 20 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: पीतल, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक मरोड़ परीक्षण में 12 mm व्यास वाला एक ठोस नमूना 75 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। 250 mm की गेज लंबाई के दोनों सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष 6.6° घूमते हैं (पदार्थ अभी प्रत्यास्थ है)। पदार्थ का अपरूपण गुणांक G ज्ञात कीजिए।

T = 75 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 6.6°

G = GPa

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

40 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 0.5 m पर B पर 500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 2.5 m और आगे मुक्त सिरे C पर उसी दिशा में 500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 500 N·mAB = 0.5 mBC = 2.5 m

τ_max = MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mw = 5 kN/m, 0 से 6 m तकx = 5 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 1.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 8 mP = 25 kN पर 2 mw = 6 kN/m, 0 से 8 m तकx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक चैनल खंड अपनी खुली ओर ऊपर करके रखा है: 120 mm चौड़ी आधार प्लेट और दो खड़ी भुजाएँ, कुल 120 mm ऊँची। आधार और भुजाएँ सभी 14 mm मोटी हैं। निचली कोर से केंद्रक की ऊँचाई ȳ ज्ञात कीजिए।

b = 120 mmh = 120 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

150 mm × 200 mm की एक प्लेट में 60 mm चौड़ा और 40 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 70 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 150 mmh = 200 mmकटाव: 60 × 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −10 MPa, σᵧ = −50 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = −10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

60 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 750 N·m के बलाघूर्ण के साथ 750 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 60 mmM = 750 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (स्टील)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। स्थिर सिरे पर बंकन आघूर्ण M_A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 4 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 105 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 105 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 8706 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78.54 = 1019 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1019/117000 = 0.008706 = 8706 µε

उत्तर

ε = 8706 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 6.914 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 100000·1257/500 = 251327 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 20000·251327/578577 = 8688 N

प्रतिबल

σ₂ = 8688/1257 = 6.914 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 6.914 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: G = 79.96 GPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण और कोण

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 6.6·π/180 = 0.1152 rad

अपरूपण गुणांक

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(2036·0.1152) = 79957 MPa

G = 79.96 GPa

उत्तर

G = 79.96 GPa

तुलना करें: इस्पात ≈ 80 GPa, पीतल ≈ 39 GPa, ऐलुमिनियम ≈ 26 GPa।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 79.58 MPa

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 500 = 1000 N·m

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

सबसे बड़े आंतरिक बलाघूर्ण वाले खंड में प्रतिबल सबसे बड़ा है (समान व्यास)।

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·40³) = 79.58 MPa

उत्तर

τ_max = 79.58 MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 12.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

x = 5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 15·5 − 5·5·2.5 = 12.5 kN·m

उत्तर

M_x = 12.5 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 57.38 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·2 + 6·8·4

R_B = 242/8 = 30.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 73 − 30.25 = 42.75 kN

x = 1.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 42.75·1.5 − 6·1.5·0.75 = 57.38 kN·m

उत्तर

M_x = 57.38 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: ȳ = 45.31 mm

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

आयतों में बाँटें

आधार को पूरी चौड़ाई पर और दोनों भुजाओं को उसके ऊपर (ऊँचाई h − t) लें, ताकि कुछ भी दो बार न गिना जाए।

आधार: A₁ = 120·14 = 1680 mm², y₁ = 7 mm

दो भुजाएँ: A₂ = 2·14·106 = 2968 mm², y₂ = 14 + 106/2 = 67 mm

केंद्रक

ȳ = (1680·7 + 2968·67)/4648 = 45.31 mm

उत्तर

ȳ = 45.31 mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 97.33 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (30000·100 − 2400·70)/(30000 − 2400) = 102.6 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

150·200³/12 + 30000·−2.609² = 100.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

60·40³/12 + 2400·−32.61² = 2.872 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 97.33 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 97.33 × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = −31.72 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·−40, −10 − −50) = −63.43°

अवयव पर कोण

θ_p = −31.72°

उत्तर

θ_p = −31.72°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 42.69 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·60³) = 35.37 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·60³) = 17.68 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 17.68 MPa

R = √(17.68² + 17.68²) = 25.01 MPa

σ₁ = C + R = 42.69 MPa

σ₂ = C − R = −7.325 MPa

उत्तर

σ₁ = 42.69 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 2.482 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 2.482 mm

उत्तर

δ_max = 2.482 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: M_A = 20 kN·m

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δ_load = wL⁴/(8EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल R_B मुक्त सिरे को R_BL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

स्थिर सिरे पर आघूर्ण

भारों और टेक बल के A के परितः आघूर्ण।

M_A = wL²/2 − R_B·L = 80 − 60 = 20 kN·m

उत्तर

M_A = 20 kN·m

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 4.318 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·3000 = 6000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/6000² = 4318 N = 4.318 kN

उत्तर

P_cr = 4.318 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 66.46 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·105000 = 210000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66.46 mm

उत्तर

d = 66.46 mm

जाँच: तनुता KL/r = 180.6 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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