पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एल्युमिनियम छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 40 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 25 kNखंड 1: Ø40 mm, 0.5 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक मरोड़ परीक्षण में 10 mm व्यास वाला एक ठोस नमूना 40 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। 250 mm की गेज लंबाई के दोनों सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष 14.96° घूमते हैं (पदार्थ अभी प्रत्यास्थ है)। पदार्थ का अपरूपण गुणांक G ज्ञात कीजिए।

T = 40 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 14.96°

G = GPa

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

30 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 0.5 m पर B पर 750 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 1.2 m और आगे मुक्त सिरे C पर विपरीत दिशा में 1500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φ_C का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 30 mmT_B = 750 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0.5 mBC = 1.2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 1 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 8 mw = 10 kN/m, 0 से 8 m तकx = 1 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच अधिकतम सैगिंग बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 7 mw = 5 kN/m, 0 से 7 m तकआलंब x = 0 और x = 5 m पर

M_max = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

120 mm × 240 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 60 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 168 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 120 mmh = 240 mmd = 60 mmछिद्र का केंद्र: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 20 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_ऊपर = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −70 MPa, σᵧ = −60 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = −70 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 0 MPa, σᵧ = −80 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 20° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 0 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 6 kNw = 4 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 5053 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 40·1000/113.1 = 353.7 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for एल्युमिनियम = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 353.7/70000 = 0.005053 = 5053 µε

उत्तर

ε = 5053 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 124.3 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 19.89 MPa

σ₂ = 124.3 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 124.3 MPa

उत्तर

σ_max = 124.3 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: G = 39.01 GPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण और कोण

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴

φ = 14.96·π/180 = 0.2611 rad

अपरूपण गुणांक

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(981.7·0.2611) = 39011 MPa

G = 39.01 GPa

उत्तर

G = 39.01 GPa

तुलना करें: इस्पात ≈ 80 GPa, पीतल ≈ 39 GPa, ऐलुमिनियम ≈ 26 GPa।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 19.59 °

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 750 = 750 N·m

हर खंड का मरोड़

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 750000·500/(80000·79522) = 0.05895 rad

φ_BC = 1.5 × 10⁶·1200/(80000·79522) = 0.2829 rad

सिरे C का मरोड़

φ_C = 0.05895 + 0.2829 = 0.3419 rad → |φ_C| = 19.59°

उत्तर

φ_C = 19.59°

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 35 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

x = 1 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 40·1 − 10·1·0.5 = 35 kN·m

उत्तर

M_x = 35 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 11.03 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN, x̄ = 3.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7·3.5

R_B = 122.5/5 = 24.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 24.5 = 10.5 kN

शून्य अपरूपण

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 10.5/5 = 2.1 m

अधिकतम सैगिंग आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 10.5²/(2·5) = 11.03 kN·m

उत्तर

M_max = 11.03 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 130.4 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (28800·120 − 2827·168)/(28800 − 2827) = 114.8 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

120·240³/12 + 28800·5.225² = 139 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·60⁴/64 + 2827·53.23² = 8.646 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 130.4 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 130.4 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 15.46 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

वेब: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·292.5 + 4480·140)/11480 = 233 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 280·25³/12 + 7000·(292.5 − 233)² = 2.516 × 10⁷ mm⁴

वेब: 16·280³/12 + 4480·(140 − 233)² = 6.801 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.516 × 10⁷ + 6.801 × 10⁷ = 9.316 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 305 − 233 = 72.01 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·72.01/9.316 × 10⁷ = 15.46 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 15.46 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 60.21 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((−70 − −60)/2)² + −60²) = 60.21 MPa

उत्तर

τ_max = 60.21 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = −35.07 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = −40 + 40·0.766 + −40·0.6428 = −35.07 MPa

उत्तर

σ_θ = −35.07 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 4.821 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 4.821 mm

उत्तर

δ = 4.821 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 1.152 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 6000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·1500³/(48·5.95 × 10¹¹) = 0.709 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·1500⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 0.4431 mm

जोड़ें

δ_max = 0.709 + 0.4431 = 1.152 mm

उत्तर

δ_max = 1.152 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 157.9 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2000² = 157914 N = 157.9 kN

उत्तर

P_cr = 157.9 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 50.76 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/15 = 116.7

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/116.7² = 50.76 MPa

उत्तर

σ_cr = 50.76 MPa

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