पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत पीतल छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 15 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 25 kNखंड 1: Ø40 mm, 1.5 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 1 m, स्टील (E = 200 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 750 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 39 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट 300 rpm पर 5 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 75 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 1° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 4.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 8 mw = 12 kN/m, 0 से 8 m तकx = 4.5 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 1.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 4 mP = 40 kN पर 1.5 mw = 5 kN/m, 0 से 4 m तकx = 1.5 m

M_x = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक सममित I-खंड के फ़्लेंज 100 mm चौड़े और 16 mm मोटे हैं, कुल गहराई 440 mm है और वेब 8 mm मोटा है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

B = 100 mmH = 440 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 5 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_ऊपर = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 140 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = 40 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 30° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 140 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और अपने मुक्त सिरे पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

P = 17 kNw = 2 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह मध्य-विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। EI स्थिर है। टेक पर प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 3 mP = 80 kN पर 1.5 m

R_B = kN

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 3.316 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113.1 = 132.6 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 132.6/100000 = 0.001326 = 1326 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.001326·2500 mm = 3.316 mm

उत्तर

δ = 3.316 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.5471 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 19.89 MPa

σ₂ = 79.58 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19.89·1500/200000 = 0.1492 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 79.58·1000/200000 = 0.3979 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.5471 mm

उत्तर

δ = 0.5471 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 22.99 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(39000·38350) = 0.4012 rad

φ = 0.4012·180/π = 22.99°

उत्तर

φ = 22.99°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 43.48 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 159.2 N·m = 159155 N·mm

d_τ = ∛(16·159155/(π·75)) = 22.11 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·159155/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 43.48 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(22.11, 43.48) = 43.48 mm

उत्तर

d = 43.48 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 94.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

x = 4.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 48·4.5 − 12·4.5·2.25 = 94.5 kN·m

उत्तर

M_x = 94.5 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 46.88 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1.5 + 5·4·2

R_B = 100/4 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 25 = 35 kN

x = 1.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 35·1.5 − 5·1.5·0.75 = 46.88 kN·m

उत्तर

M_x = 46.88 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 189.2 × 10⁶ mm⁴

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = I_c + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है।

बाहरी आयत में से दोनों पार्श्व कटाव घटाकर

दोनों कटाव मिलकर (B − t_w) चौड़े और h_w = H − 2t_f ऊँचे हैं, और उनकी अक्ष x एक ही है।

h_w = 440 − 2·16 = 408 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·440³ − 92·408³)/12

I_x = 1.892 × 10⁸ mm⁴ = 189.2 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 189.2 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 22.26 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

वेब: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·132.5 + 2400·60)/5400 = 100.3 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 120·25³/12 + 3000·(132.5 − 100.3)² = 3.271 × 10⁶ mm⁴

वेब: 20·120³/12 + 2400·(60 − 100.3)² = 6.774 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3.271 × 10⁶ + 6.774 × 10⁶ = 1.004 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 145 − 100.3 = 44.72 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·44.72/1.004 × 10⁷ = 22.26 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 22.26 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 94.87 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((160 − −20)/2)² + −30²) = 94.87 MPa

उत्तर

τ_max = 94.87 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 80.36 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 90 + 50·0.5 + 40·−0.866 = 80.36 MPa

उत्तर

σ_θ = 80.36 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 8.777 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 17000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(3EI) = 17000·2500³/(3·1.12 × 10¹³) = 7.906 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 0.8719 mm

जोड़ें

δ = 7.906 + 0.8719 = 8.777 mm

उत्तर

δ = 8.777 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: R_B = 25 kN

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल R_B मुक्त सिरे को R_BL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

उत्तर

R_B = 25 kN

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 21.15 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2100² = 21149 N = 21.15 kN

उत्तर

P_cr = 21.15 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 21.93 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

उत्तर

σ_cr = 21.93 MPa

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