पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
Ø 10 mmपीतल0.5 mP = 20 kN

अक्षीय भार के अंतर्गत पीतल छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 20 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 30 mmताँबा1.5 mØ 16 mmएल्युमिनियम0.5 mP = 45 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 45 kNखंड 1: Ø30 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 0.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)
δ = mm
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
T = 200 N·md = 20 mmL = 1.5 mφ = ?

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·md = 20 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
d = ?30 kW, 300 rpm

एक ठोस पीतल शाफ़्ट 300 rpm पर 30 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.25° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
P1​ = 45 kNP2​ = 15 kNABC3 m3 m1 m

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 1 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह आलंबों के बीच बिंदु भार P1 और C पर बिंदु भार P2 वहन करता है। भार P1 के नीचे बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 7 mP1 = 45 kN पर 3 mP2 = 15 kN पर 7 mआलंब x = 0 और x = 6 m पर
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
10 kN/m30 kN50 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

30 kN @ 0 m50 kN @ 6 m35 kN @ 2 m10 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
100 mm200 mm130 mmØ40xIx​ = ?

100 mm × 200 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 40 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 130 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
150 mm200 mm70 mm50 × 20xIx​ = ?

150 mm × 200 mm की एक प्लेट में 50 mm चौड़ा और 20 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 70 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 150 mmh = 200 mmकटाव: 50 × 20 mmछिद्र का केंद्र: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = 40σy​ = 80MPaτxy​ = ?

एक बिंदु पर σₓ = 40 MPa और σᵧ = 80 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 90 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τxy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?

σx = 40 MPaσy = 80 MPaσ1 = 90 MPa
τxy = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = −50σy​ = 120τxy​ = −20MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −50 MPa, σᵧ = 120 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 45° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।

σx = −50 MPaσy = 120 MPaτxy = −20 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
w = 12 kN/mδL = 2.5 m

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 8 kN/mδL = 2 m

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।

w = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 1 md = 20 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 200 GPa (स्टील)d = 20 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 130 kNL = 2 md = ?अनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 130 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 130 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 1.273 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 20·1000/78.54 = 254.6 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 254.6/100000 = 0.002546 = 2546 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.002546·500 mm = 1.273 mm

उत्तर

δ = 1.273 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 2.415 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 223.8 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ1 = σ1L1/E1 = 63.66·1500/117000 = 0.8162 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223.8·500/70000 = 1.599 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.415 mm

उत्तर

δ = 2.415 mm
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 13.68 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·15708) = 0.2387 rad
φ = 0.2387·180/π = 13.68°

उत्तर

φ = 13.68°
4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 86.95 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·40)) = 49.54 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·954930/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 86.95 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(49.54, 86.95) = 86.95 mm

उत्तर

d = 86.95 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 60 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन। ओवरहैंग का भार भी A के परितः कार्य करता है।

ΣMA = 0: RB·6 = 45·3 + 15·7
RB = 240/6 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 40 = 20 kN

P1 के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें

Mx = RA·3 = 20·3 = 60 kN·m

उत्तर

Mx = 60 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: F (x = 5 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R1 = 71.25 kN, R2 = 83.75 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

MA = 0, MB = −30, MC = 6.25, MD = −2.5, ME = −21.25, MF = −50 kN·m, MG = 0

उत्तर

चिह्न F: MF = −50 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 65.33 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (20000·100 − 1257·130)/(20000 − 1257) = 97.99 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

100·200³/12 + 20000·2.011² = 66.75 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·40⁴/64 + 1257·32.01² = 1.413 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 65.33 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 65.33 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 99.04 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (30000·100 − 1000·70)/(30000 − 1000) = 101 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

150·200³/12 + 30000·−1.034² = 100 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

50·20³/12 + 1000·−31.03² = 0.9965 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 99.04 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 99.04 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τxy = 22.36 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

आवश्यक त्रिज्या

C = (40 + 80)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 90 − 60 = 30 MPa
στxyCσ1​σ2​

अपरूपण प्रतिबल

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 20²) = 22.36 MPa

उत्तर

τxy = 22.36 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σθ = 55 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

रूपांतरण समीकरण

σθ = 35 + −85·0 + −20·−1 = 55 MPa

उत्तर

σθ = 55 MPa
11.बीम विक्षेप

उत्तर: δmax = 1.53 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.53 mm

उत्तर

δmax = 1.53 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: Ireq = 4.286 × 10⁶ mm⁴

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

विक्षेप सीमा

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·2000⁴/(384·70000·5.556) = 4.286 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 4.286 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ireq = 4.286 × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 62.01 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·1000 = 500 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/500² = 62013 N = 62.01 kN

उत्तर

Pcr = 62.01 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 89.58 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 3·130000 = 390000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 89.58 mm

उत्तर

d = 89.58 mm

जाँच: तनुता KL/r = 178.6 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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