पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 500 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो काँसा के बने खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 400 mm, E = 110 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.25 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 25 kNखंड 1: Ø30 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1.5 m, पीतल (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 500 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखले शाफ़्ट को 1000 rpm पर 30 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.5 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 75 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

कैंटिलीवर A पर स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और A से 2 m पर बिंदु भार P वहन करता है। स्थिर आलंब A पर बंकन आघूर्ण M_A ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 2.5 mP = 70 kN पर 2 mw = 5 kN/m, 0 से 2.5 m तक

M_A = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच A से प्रतिनमन बिंदु (जहाँ बंकन आघूर्ण का चिह्न बदलता है) तक की दूरी x_c ज्ञात कीजिए।

L = 10 mw = 10 kN/m, 0 से 10 m तकआलंब x = 0 और x = 8 m पर

x_c = m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक खोखले आयताकार (बॉक्स) खंड की बाहरी चौड़ाई B = 180 mm, बाहरी ऊँचाई H = 225 mm और एकसमान दीवार मोटाई t = 10 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

B = 180 mmH = 225 mmt = 10 mm

r = mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

120 mm × 150 mm की एक प्लेट में 30 mm चौड़ा और 40 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 90 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 120 mmh = 150 mmकटाव: 30 × 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa और τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_abs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = 10 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अपरूपण प्रतिबल τ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 50° वामावर्त घुमाया गया है (τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। आलंब A पर बीम की प्रवणता θ_A रेडियन में ज्ञात कीजिए।

w = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (स्टील)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 60 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 23.04 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1257) = 2.894 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.25/1.085 × 10⁻⁵ = 23038 N = 23.04 kN

उत्तर

P = 23.04 kN

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 124.3 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 35.37 MPa

σ₂ = 124.3 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 124.3 MPa

उत्तर

σ_max = 124.3 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 6.928 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(26000·79522) = 0.1209 rad

φ = 0.1209·180/π = 6.928°

उत्तर

φ = 6.928°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 27.48 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 30000/104.7 = 286.5 N·m

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 286.5 N·m = 286479 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·286479/(π·75·0.9375)) = 27.48 mm

d_i = 0.5·27.48 = 13.74 mm

उत्तर

d_o = 27.48 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 26.89 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_A = −155.6 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

मुक्त-सिरे वाला भाग रखें

P: −70·2 = −140 kN·m

w: −5·2.5²/2 = −15.63 kN·m

M_A = −140 − 15.63 = −155.6 kN·m

उत्तर

M_A = −155.6 kN·m

ऋणात्मक का अर्थ है हॉगिंग: ऊपरी फलक पर तनाव।

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: x_c = 7.5 m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·10·5

R_B = 500/8 = 62.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 62.5 = 37.5 kN

शून्य आघूर्ण

आलंबों के बीच M(x) = R_A·x − w·x²/2। x = 0 के अलावा यह x = 2R_A/w पर शून्य है।

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·37.5/10 = 7.5 m

उत्तर

x_c = 7.5 m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: r = 85.27 mm

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = I_c + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।

शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण

b = 160 mm, h = 205 mm

A = BH − bh = 180·225 − 160·205 = 7700 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 5.599 × 10⁷ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या

r = √(I/A) = √(5.599 × 10⁷/7700) = 85.27 mm

उत्तर

r = 85.27 mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 33.3 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (18000·75 − 1200·90)/(18000 − 1200) = 73.93 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

120·150³/12 + 18000·1.071² = 33.77 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

30·40³/12 + 1200·16.07² = 0.4699 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 33.3 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 33.3 × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_abs = 40 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σ_max − σ_min)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।

तलीय मुख्य प्रतिबल

C = −50 MPa, R = √(0² + 30²) = 30 MPa

σ₁ = −20 MPa, σ₂ = −80 MPa, σ_z = 0

तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60, 20, 80)/2 = 40 MPa

उत्तर

τ_abs = 40 MPa

यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_θ = −60.82 MPa

रूपांतरण समीकरण

τ_θ = −60·0.9848 + 10·−0.1736 = −60.82 MPa

उत्तर

τ_θ = −60.82 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: θ_A = 0.003922 rad

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। प्रवणता θ = dv/dx, M/(EI) का प्रथम समाकल है; संगत इकाइयों में यह रेडियन में आती है।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

सिरा प्रवणता

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·1.7 × 10¹²) = 0.003922 rad

उत्तर

θ_A = 0.003922 rad

यह 0.2247° है।

12.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 2.143 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2000⁴/(384·70000·5.556) = 2.143 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.143 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 2.143 × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 195.3 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·1500 = 1500 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195.3 kN

उत्तर

P_cr = 195.3 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 12.34 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/6.25 = 400

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

उत्तर

σ_cr = 12.34 MPa

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