पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 110 GPa) के भीतर है। दोनों 500 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 100 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 100 kNछड़: Ø40 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 85 kNखंड 1: Ø30 mm, 1.5 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 1.5 m, स्टील (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 500 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट 1500 rpm पर 5 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 80 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.25° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

40 kN @ 6 m10 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

45 kN @ 0 m30 kN @ 12 m55 kN @ 6 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

120 mm × 240 mm की एक प्लेट में 60 mm चौड़ा और 30 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 144 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 120 mmh = 240 mmकटाव: 60 × 30 mmछिद्र का केंद्र: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 160 MPa, σᵧ = −80 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 160 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa और τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 460 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = 80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.बीम विक्षेपमध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 1 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δ_B ज्ञात कीजिए।

P = 27 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 12 kNw = 20 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.06217 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5027 = 8.042 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 100000·500/8.042 × 10⁸ = 0.06217 mm

उत्तर

δ = 0.06217 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 270.6 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 120.3 MPa

σ₂ = 270.6 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 270.6 MPa

उत्तर

σ_max = 270.6 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 11.08 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·79522) = 0.1935 rad

φ = 0.1935·180/π = 11.08°

उत्तर

φ = 11.08°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 41.12 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 31.83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·80)) = 12.65 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 41.12 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(12.65, 41.12) = 41.12 mm

उत्तर

d = 41.12 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 6 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 46.67 kN, R₂ = 73.33 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 93.33, M_C = 186.7, M_D = 260 kN·m, M_E = 213.3, M_F = 126.7, M_G = 0

उत्तर

चिह्न D: M_D = 260 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 8 m)

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 76.33 kN, R₂ = 89.67 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −39.33, M_D = −12.67, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

उत्तर

चिह्न E: M_E = −120 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 3.3 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

वेब: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·110 + 1000·50)/3000 = 90 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 100·20³/12 + 2000·(110 − 90)² = 866667 mm⁴

वेब: 10·100³/12 + 1000·(50 − 90)² = 2.433 × 10⁶ mm⁴

I_x = 866667 + 2.433 × 10⁶ = 3.3 × 10⁶ mm⁴ = 3.3 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 3.3 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (28800·120 − 1800·144)/(28800 − 1800) = 118.4 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

120·240³/12 + 28800·1.6² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

60·30³/12 + 1800·25.6² = 1.315 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = −7.018 °

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·−30, 160 − −80) = −14.04°

अवयव पर कोण

θ_p = −7.018°

उत्तर

θ_p = −7.018°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 2.988

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = 15 MPa, R = 88.46 MPa

σ₁ = 103.5 MPa, σ₂ = −73.46 MPa, σ₃ = 0

वॉन मीज़ेस

σ_vM = √(103.5² − 103.5·(−73.46) + (−73.46)²) = 153.9 MPa

n = 460/153.9 = 2.988

उत्तर

n = 2.988

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_B = 78.95 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 27000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δ_P = Pa³/(3EI) = 14.35 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.02153 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 78.95 mm

उत्तर

δ_B = 78.95 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 1.955 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 12000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2500³/(48·7.2 × 10¹²) = 0.5425 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 1.413 mm

जोड़ें

δ_max = 0.5425 + 1.413 = 1.955 mm

उत्तर

δ_max = 1.955 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 101.1 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2500² = 101065 N = 101.1 kN

उत्तर

P_cr = 101.1 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 5.483 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/600² = 5.483 MPa

उत्तर

σ_cr = 5.483 MPa

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