पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
80 kNØ40110 GPaØ120/70300 mmδ = ?

एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 70 mm, E = 110 GPa) के भीतर है। दोनों 300 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 80 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 80 kNछड़: Ø40 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 25 mmपीतल2 mØ 20 mmपीतल2 mP = 90 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।

P = 90 kNखंड 1: Ø25 mm, 2 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 2 m, पीतल (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
d = ?T = 400 N·mL = 1.2 m

1.2 m लंबा एक ठोस पीतल शाफ़्ट 400 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 1° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·mL = 1.2 mG = 39 GPaφallow = 1°
d = mm
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
do​ = ?100 kW, 300 rpm

एक खोखले शाफ़्ट को 300 rpm पर 100 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.75 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 60 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास do ज्ञात कीजिए।

P = 100 kWN = 300 rpmdi/do = 0.75τallow = 60 MPa
do = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
P1​ = 55 kNP2​ = 55 kNABC1.5 m2.5 m1 m

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 1 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह आलंबों के बीच बिंदु भार P1 और C पर बिंदु भार P2 वहन करता है। भार P1 के नीचे बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 5 mP1 = 55 kN पर 1.5 mP2 = 55 kN पर 5 mआलंब x = 0 और x = 4 m पर
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 24 kN/mAB6 m2 m

सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। A से उस खंड तक की दूरी x0 ज्ञात कीजिए जहाँ बंकन आघूर्ण सबसे बड़ा है।

L = 8 mw = 24 kN/m, 0 से 6 m तक
x0 = m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
28090t = 10xआयाम mm में

एक चैनल खंड अपनी खुली ओर ऊपर करके रखा है: 280 mm चौड़ी आधार प्लेट और दो खड़ी भुजाएँ, कुल 90 mm ऊँची। आधार और भुजाएँ सभी 10 mm मोटी हैं। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 280 mmh = 90 mmt = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
3001514016xहॉगिंग Mआयाम mm में

एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 50 MPa और संपीडन में 100 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा हॉगिंग बंकन आघूर्ण Mallow ज्ञात कीजिए (उसका परिमाण दें)।

bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 140 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = −30σy​ = 100τxy​ = −40MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −30 MPa, σᵧ = 100 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

σx = −30 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = 40τxy​ = 40MPa

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 300 MPa है। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σx = 40 MPaσy = 0 MPaτxy = 40 MPaσY = 300 MPa
n =
11.बीम विक्षेपमध्यम
w = 20 kN/mδL = 1.5 m

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।

w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 20 kN/mP = 8 kNδL = 2.5 m

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।

P = 8 kNw = 20 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 2.5 md = 60 mmअनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 60 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 15 kNL = 5 md = ?अनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 15 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 15 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.02239 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·7461 = 1.072 × 10⁹ N

संकुचन

δ = 80000·300/1.072 × 10⁹ = 0.02239 mm

उत्तर

δ = 0.02239 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σmax = 286.5 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 183.3 MPa
σ2 = 286.5 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σmax = 286.5 MPa

उत्तर

σmax = 286.5 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 51.77 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·1200/(39000·0.01745) = 705179 mm⁴

व्यास

d = (32J/π)1/4 = 51.77 mm

उत्तर

d = 51.77 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: do = 73.39 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 3183 N·m = 3.183 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·3.183 × 10⁶/(π·60·0.6836)) = 73.39 mm
di = 0.75·73.39 = 55.04 mm

उत्तर

do = 73.39 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 64.65 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 30.94 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन। ओवरहैंग का भार भी A के परितः कार्य करता है।

ΣMA = 0: RB·4 = 55·1.5 + 55·5
RB = 357.5/4 = 89.38 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 89.38 = 20.63 kN

P1 के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें

Mx = RA·1.5 = 20.63·1.5 = 30.94 kN·m

उत्तर

Mx = 30.94 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: x0 = 3.75 m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 24·6 = 144 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·8 = 24·6·3
RB = 432/8 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 144 − 54 = 90 kN

शून्य अपरूपण

अपरूपण बल RA से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 90/24 = 3.75 m

उत्तर

x0 = 3.75 m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 2.938 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

आयतों में बाँटें

आधार को पूरी चौड़ाई पर और दोनों भुजाओं को उसके ऊपर (ऊँचाई h − t) लें, ताकि कुछ भी दो बार न गिना जाए।

आधार: A1 = 280·10 = 2800 mm², y1 = 5 mm
दो भुजाएँ: A2 = 2·10·80 = 1600 mm², y2 = 10 + 80/2 = 50 mm

केंद्रक

ȳ = (2800·5 + 1600·50)/4400 = 21.36 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

आधार: 280·10³/12 + 2800·(5 − 21.36)² = 773085 mm⁴
दो भुजाएँ: 2·10·80³/12 + 1600·(50 − 21.36)² = 2.165 × 10⁶ mm⁴
Ix = 773085 + 2.165 × 10⁶
Ix = 2.938 × 10⁶ mm⁴ = 2.938 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 2.938 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Mallow = 10.45 kN·m

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

केंद्रक

ȳ = (4500·147.5 + 2240·70)/6740 = 121.7 mm
ऊपरी कोर: c = 155 − 121.7 = 33.26 mm

क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण

I = 300·15³/12 + 4500·25.76² + 16·140³/12 + 2240·51.74² = 1.273 × 10⁷ mm⁴

हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण

हॉगिंग: ऊपरी भाग तनाव में, निचला भाग संपीडन में।

ऊपरी कोर: M = 50·1.273 × 10⁷/33.26 = 19.13 kN·m
निचली कोर: M = 100·1.273 × 10⁷/121.7 = 10.45 kN·m

निर्णायक मान

Mallow = min = 10.45 kN·m (निचली कोर)

उत्तर

Mallow = 10.45 kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τmax = 76.32 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCτmax​

मोर वृत्त की त्रिज्या

τmax = R = √(((−30 − 100)/2)² + −40²) = 76.32 MPa

उत्तर

τmax = 76.32 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 3.354

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।

στxyCσ1​σ2​

मुख्य प्रतिबल

C = 20 MPa, R = 44.72 MPa
σ1 = 64.72 MPa, σ2 = −24.72 MPa, σ3 = 0

ट्रेस्का

σmax − σmin = 89.44 MPa
n = 300/89.44 = 3.354

उत्तर

n = 3.354

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δmax = 1.427 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

विक्षेप

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 1.427 mm

उत्तर

δmax = 1.427 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: δmax = 13.83 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 8000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

हर भार अलग से

δP = PL³/(48EI) = 8000·2500³/(48·9.24 × 10¹¹) = 2.818 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 11.01 mm

जोड़ें

δmax = 2.818 + 11.01 = 13.83 mm

उत्तर

δmax = 13.83 mm
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 17.58 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·2500 = 5000 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17.58 kN

उत्तर

Pcr = 17.58 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 57.37 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 57.37 mm

उत्तर

d = 57.37 mm

जाँच: तनुता KL/r = 244 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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