पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 65 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 90 kNखंड 1: Ø30 mm, 1 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक खोखले शाफ़्ट को 750 N·m का बलाघूर्ण वहन करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.8 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

T = 750 N·md_i/d_o = 0.8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखले शाफ़्ट को 1450 rpm पर 5 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.5 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 50 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

50 kN @ 3 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

55 kN @ 0 m35 kN @ 12 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक वृत्ताकार नली का बाहरी व्यास D = 220 mm और भीतरी व्यास d = 204 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

D = 220 mmd = 204 mm

r = mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 15 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_नीचे = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

50 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 500 N·m के बलाघूर्ण के साथ 100 kN का अक्षीय संपीडन बल वहन करता है। शाफ़्ट की सतह पर, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 50 mmF = −100 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 100 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 2 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 100 mm

h_req = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)d = 25 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 4.041 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 65·1000/201.1 = 323.3 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 323.3/200000 = 0.001616 = 1616 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.001616·2500 mm = 4.041 mm

उत्तर

δ = 4.041 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 286.5 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 127.3 MPa

σ₂ = 286.5 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 286.5 MPa

उत्तर

σ_max = 286.5 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 54.48 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·40·0.5904)) = 54.48 mm

d_i = 0.8·54.48 = 43.59 mm

उत्तर

d_o = 54.48 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 45.71 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 15.29 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 5000/151.8 = 32.93 N·m

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 32.93 N·m = 32929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·32929/(π·50·0.9375)) = 15.29 mm

d_i = 0.5·15.29 = 7.647 mm

उत्तर

d_o = 15.29 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 14.97 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 3 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 43 kN, R₂ = 43 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 74, M_D = 102 kN·m, M_E = 74, M_F = 40, M_G = 0

उत्तर

चिह्न D: M_D = 102 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: B (x = 2 m)

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 78.75 kN, R₂ = 36.25 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = −62.5, M_D = −65, M_E = −67.5, M_F = −70, M_G = 0

उत्तर

चिह्न B: M_B = −110 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: r = 75.01 mm

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = I_c + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।

शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण

A = π(D² − d²)/4 = 5328 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2.998 × 10⁷ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या

r = √(I/A) = √(2.998 × 10⁷/5328) = 75.01 mm

उत्तर

r = 75.01 mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 216.4 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112.5 mm

वेब: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·112.5 + 1800·50)/5300 = 91.27 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 140·25³/12 + 3500·(112.5 − 91.27)² = 1.759 × 10⁶ mm⁴

वेब: 18·100³/12 + 1800·(50 − 91.27)² = 4.566 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.759 × 10⁶ + 4.566 × 10⁶ = 6.326 × 10⁶ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 91.27 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·91.27/6.326 × 10⁶ = 216.4 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 216.4 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = −18.01 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·−40, 120 − 10) = −36.03°

अवयव पर कोण

θ_p = −18.01°

उत्तर

θ_p = −18.01°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 7.146 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = F/A = −100000/(π·50²/4) = −100000/1963 = −50.93 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20.37 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = −25.46 MPa

R = √((−25.46)² + 20.37²) = 32.61 MPa

σ₁ = C + R = 7.146 MPa

σ₂ = C − R = −58.08 MPa

उत्तर

σ₁ = 7.146 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 6.975 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 6.975 mm

उत्तर

δ = 6.975 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 163.7 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·9.722) = 3.654 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·3.654 × 10⁷/100)^1/3 = 163.7 mm

उत्तर

h_req = 163.7 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 4.205 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN

उत्तर

P_cr = 4.205 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 4.819 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/12.5 = 640

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4.819 MPa

उत्तर

σ_cr = 4.819 MPa

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