पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 40 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) और ताँबा का बना खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 400 mm, E = 120 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 40 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

2 m लंबा एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट 250 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 2° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 250 N·mL = 2 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 1450 rpm पर 30 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 60 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 4 m पर खंड में अपरूपण बल V_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 5 mw = 2 kN/m, 0 से 5 m तकx = 4 m

V_x = kN

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

55 kN @ 6 m20 kN @ 1 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक चैनल खंड अपनी खुली ओर ऊपर करके रखा है: 280 mm चौड़ी आधार प्लेट और दो खड़ी भुजाएँ, कुल 200 mm ऊँची। आधार और भुजाएँ सभी 16 mm मोटी हैं। निचली कोर से केंद्रक की ऊँचाई ȳ ज्ञात कीजिए।

b = 280 mmh = 200 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 10 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 10 kN·m

σ_ऊपर = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = −10 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 40° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = −80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और अपने मुक्त सिरे पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

P = 20 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 100 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/250 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 1 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 100 mm

h_req = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 25 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 1.222 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490.9 = 81.49 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 81.49/200000 = 0.0004074 = 407.4 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0004074·3000 mm = 1.222 mm

उत्तर

δ = 1.222 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 24.91 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 40000·376991/481711 = 31304 N

प्रतिबल

σ₂ = 31304/1257 = 24.91 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 24.91 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 48.67 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·2000/(26000·0.03491) = 550921 mm⁴

व्यास

d = (32J/π)^1/4 = 48.67 mm

उत्तर

d = 48.67 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 25.6 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·60)) = 25.6 mm

उत्तर

d = 25.6 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: V_x = −3 kN

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2.5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

x = 4 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

V = R_A − (कट के बाईं ओर सभी नीचे की ओर भार)

V_x = 5 − 2·4 = −3 kN

उत्तर

V_x = −3 kN

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 4 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 11.5 kN, R₂ = 111.5 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 5.5, M_C = −21, M_D = −59.5, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

उत्तर

चिह्न E: M_E = −110 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: ȳ = 64.79 mm

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

आयतों में बाँटें

आधार को पूरी चौड़ाई पर और दोनों भुजाओं को उसके ऊपर (ऊँचाई h − t) लें, ताकि कुछ भी दो बार न गिना जाए।

आधार: A₁ = 280·16 = 4480 mm², y₁ = 8 mm

दो भुजाएँ: A₂ = 2·16·184 = 5888 mm², y₂ = 16 + 184/2 = 108 mm

केंद्रक

ȳ = (4480·8 + 5888·108)/10368 = 64.79 mm

उत्तर

ȳ = 64.79 mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 33.5 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

वेब: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·132.5 + 1200·60)/7700 = 121.2 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 260·25³/12 + 6500·(132.5 − 121.2)² = 1.168 × 10⁶ mm⁴

वेब: 10·120³/12 + 1200·(60 − 121.2)² = 5.935 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.168 × 10⁶ + 5.935 × 10⁶ = 7.103 × 10⁶ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 145 − 121.2 = 23.8 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·23.8/7.103 × 10⁶ = 33.5 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 33.5 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = −5.655 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·−10, 60 − −40) = −11.31°

अवयव पर कोण

θ_p = −5.655°

उत्तर

θ_p = −5.655°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = −98.73 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = −55 + −25·0.1736 + −40·0.9848 = −98.73 MPa

उत्तर

σ_θ = −98.73 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 34.85 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 20000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(3EI) = 20000·2000³/(3·1.76 × 10¹²) = 30.3 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 4.545 mm

जोड़ें

δ = 30.3 + 4.545 = 34.85 mm

उत्तर

δ = 34.85 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 147.9 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·18) = 2.697 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·2.697 × 10⁷/100)^1/3 = 147.9 mm

उत्तर

h_req = 147.9 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 24.22 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24.22 kN

उत्तर

P_cr = 24.22 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 12.34 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

उत्तर

σ_cr = 12.34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials