पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
Ø 12 mmताँबा2 mP = 10 kN

अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
30 kN12300 mm200 mmØ25Ø50σ2​ = ?

एक स्टील खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 50 mm, लंबाई 200 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 30 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø50 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
do​ = 50, di​ = 38 mmT = 1000 N·mL = 2.5 m

एक खोखला स्टील शाफ़्ट (बाहरी व्यास 50 mm, भीतरी व्यास 38 mm, लंबाई 2.5 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 1000 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 1000 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
d = ?5 kW, 300 rpm

एक ठोस स्टील शाफ़्ट 300 rpm पर 5 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 75 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.75° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 80 GPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
M0​ = 25 kN·mAB7 m1 m

सरल आलंबित बीम A से x = 7 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M0 = 25 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक बाईं ओर बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 8 mM0 = 25 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 7 m
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 4 kN/mP = 40 kNABखंड2.5 m3.5 m

आलंब A से x = 2.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mP = 40 kN पर 2.5 mw = 4 kN/m, 0 से 6 m तकx = 2.5 m
Mx = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
1201018010xआयाम mm में

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
130200202901816xआयाम mm में

एक वेल्डित I-खंड का ऊपरी फ़्लेंज 130 × 20 mm, वेब 290 mm ऊँचा और 16 mm मोटा, और निचला फ़्लेंज 200 × 18 mm (चौड़ाई × मोटाई) है। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

ऊपरी फ़्लेंज: 130 × 20 mmवेब: 16 × 290 mmनिचला फ़्लेंज: 200 × 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = 50σy​ = −20τxy​ = −40MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 50 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

σx = 50 MPaσy = −20 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = 90τxy​ = −20MPa

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 420 MPa है। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σx = 90 MPaσy = 0 MPaτxy = −20 MPaσY = 420 MPa
n =
11.बीम विक्षेपमध्यम
P = 28 kNABδ2 m0.5 m

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 2 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δB ज्ञात कीजिए।

P = 28 kNa = 2 mL = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
P = 65 kNAB1.5 m1.5 m

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह मध्य-विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। EI स्थिर है। टेक पर प्रतिक्रिया RB ज्ञात कीजिए।

L = 3 mP = 65 kN पर 1.5 m
RB = kN
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 1.5 m30 × 40 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 30 kNL = 2 md = ?अनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 30 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 30 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 1.511 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113.1 = 88.42 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 88.42/117000 = 0.0007557 = 755.7 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0007557·2000 mm = 1.511 mm

उत्तर

δ = 1.511 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ2 = 10.35 MPa

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

कठोरताएँ

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 70000·1963/200 = 687223 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F2 = 30000·687223/1.014 × 10⁶ = 20323 N

प्रतिबल

σ2 = 20323/1963 = 10.35 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ2 = 10.35 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 4.379 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

मरोड़ कोण

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2500/(80000·408885) = 0.07643 rad
φ = 0.07643·180/π = 4.379°

उत्तर

φ = 4.379°
4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 35.27 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 159.2 N·m = 159155 N·mm
dτ = ∛(16·159155/(π·75)) = 22.11 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·159155/(π·80000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 35.27 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(22.11, 35.27) = 35.27 mm

उत्तर

d = 35.27 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = −21.88 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: RB·L − M0 = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: RA + RB = 0।

RB = M0/L = 25/8 = 3.125 kN (ऊपर की ओर)
RA = −RB = −3.125 kN (नीचे की ओर)

बलयुग्म के ठीक बाईं ओर काटें

बाएँ भाग में केवल RA है।

Mx = RA·a = −3.125·7 = −21.88 kN·m

उत्तर

Mx = −21.88 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 75.83 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 40·2.5 + 4·6·3
RB = 172/6 = 28.67 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 28.67 = 35.33 kN
w = 4 kN/mP = 40 kNABRA​ = 35.33RB​ = 28.67खंड2.5 m3.5 m

x = 2.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 35.33·2.5 − 4·2.5·1.25 = 75.83 kN·m

उत्तर

Mx = 75.83 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 11.37 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
वेब: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm

केंद्रक

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·185 + 1800·90)/3000 = 128 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 120·10³/12 + 1200·(185 − 128)² = 3.909 × 10⁶ mm⁴
वेब: 10·180³/12 + 1800·(90 − 128)² = 7.459 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.909 × 10⁶ + 7.459 × 10⁶ = 1.137 × 10⁷ mm⁴ = 11.37 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 11.37 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 178.4 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

तीन आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

ऊपरी फ़्लेंज: A = 2600 mm², y = 318 mm
वेब: A = 4640 mm², y = 163 mm
निचला फ़्लेंज: A = 3600 mm², y = 9 mm

केंद्रक

ȳ = (2600·318 + 4640·163 + 3600·9)/10840 = 149 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

ऊपरी फ़्लेंज: 130·20³/12 + 2600·169² = 7.432 × 10⁷ mm⁴
वेब: 16·290³/12 + 4640·13.97² = 3.342 × 10⁷ mm⁴
निचला फ़्लेंज: 200·18³/12 + 3600·140² = 7.069 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.432 × 10⁷ + 3.342 × 10⁷ + 7.069 × 10⁷
Ix = 1.784 × 10⁸ mm⁴ = 178.4 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 178.4 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τmax = 53.15 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCτmax​

मोर वृत्त की त्रिज्या

τmax = R = √(((50 − −20)/2)² + −40²) = 53.15 MPa

उत्तर

τmax = 53.15 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 4.264

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।

στxyCσ1​σ2​

मुख्य प्रतिबल

C = 45 MPa, R = 49.24 MPa
σ1 = 94.24 MPa, σ2 = −4.244 MPa, σ3 = 0

ट्रेस्का

σmax − σmin = 98.49 MPa
n = 420/98.49 = 4.264

उत्तर

n = 4.264

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δB = 12.22 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 28000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δP = Pa³/(3EI) = 8.889 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.006667 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12.22 mm

उत्तर

δB = 12.22 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: RB = 20.31 kN

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·65/16 = 20.31 kN

उत्तर

RB = 20.31 kN
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 78.96 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·1500 = 1500 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1500² = 78957 N = 78.96 kN

उत्तर

Pcr = 78.96 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 72.94 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 2·30000 = 60000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 72.94 mm

उत्तर

d = 72.94 mm

जाँच: तनुता KL/r = 219.4 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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