पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

पीतल छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 35 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 55 kNखंड 1: Ø40 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1 m, पीतल (E = 100 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

1.5 m लंबा एक ठोस स्टील शाफ़्ट 1500 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 1° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 1500 N·mL = 1.5 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 3000 rpm पर 50 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 40 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 50 kWN = 3000 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

सरल आलंबित बीम दो बिंदु भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP₁ = 25 kN पर 3 mP₂ = 45 kN पर 7 m

M_max = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 4 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mP = 30 kN पर 4 mw = 4 kN/m, 0 से 6 m तकx = 4 m

M_x = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

120 mm × 150 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 50 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 97.5 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mmछिद्र का केंद्र: y = 97.5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 30 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_नीचे = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 40° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 125 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 125 mm

h_req = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 110 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 110 kNn = 2.5L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 713 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 35·1000/490.9 = 71.3 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 71.3/100000 = 0.000713 = 713 µε

उत्तर

ε = 713 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 5.611 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 43.77 MPa

σ₂ = 486.3 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 43.77·2000/117000 = 0.7482 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486.3·1000/100000 = 4.863 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.611 mm

उत्तर

δ = 5.611 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 63.65 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0.01745 rad

J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·1500/(80000·0.01745) = 1.611 × 10⁶ mm⁴

व्यास

d = (32J/π)^1/4 = 63.65 mm

उत्तर

d = 63.65 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 27.26 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·40)) = 27.26 mm

उत्तर

d = 27.26 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 117 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·3 + 45·7

R_B = 390/10 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 39 = 31 kN

हर भार के नीचे आघूर्ण

हर भार के बाईं ओर का भाग रखें।

भार P₁: M = R_A·3 = 31·3 = 93 kN·m

भार P₂: M = R_B·3 = 39·3 = 117 kN·m

सबसे बड़ा मान

M_max = 117 kN·m (भार P₂)

उत्तर

M_max = 117 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 56 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4 + 4·6·3

R_B = 192/6 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 32 = 22 kN

x = 4 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 22·4 − 4·4·2 = 56 kN·m

उत्तर

M_x = 56 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 32.33 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए I_c = bh³/12 और वृत्त के लिए I_c = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (18000·75 − 1963·97.5)/(18000 − 1963) = 72.25 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

120·150³/12 + 18000·2.755² = 33.89 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·50⁴/64 + 1963·25.25² = 1.559 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

I_x = 32.33 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 32.33 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 103.2 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

वेब: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·305 + 3600·150)/6000 = 212 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 240·10³/12 + 2400·(305 − 212)² = 2.078 × 10⁷ mm⁴

वेब: 12·300³/12 + 3600·(150 − 212)² = 4.084 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.078 × 10⁷ + 4.084 × 10⁷ = 6.162 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 212 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·212/6.162 × 10⁷ = 103.2 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 103.2 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = 35.78 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·30, −20 − −40) = 71.57°

अवयव पर कोण

θ_p = 35.78°

उत्तर

θ_p = 35.78°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 7.49 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 35 + −45·0.1736 + −20·0.9848 = 7.49 MPa

उत्तर

σ_θ = 7.49 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 7.937 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 7.937 mm

उत्तर

δ_max = 7.937 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 218.8 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 4 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·11.11) = 1.091 × 10⁸ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·1.091 × 10⁸/125)^1/3 = 218.8 mm

उत्तर

h_req = 218.8 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 12.59 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/4200² = 12589 N = 12.59 kN

उत्तर

P_cr = 12.59 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 84.37 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2.5·110000 = 275000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 84.37 mm

उत्तर

d = 84.37 mm

जाँच: तनुता KL/r = 118.5 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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