अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो ताँबा के बने खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 300 mm, E = 120 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.4 mm खींचता है।
खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: ताँबा, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 500 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 40 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।
खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक सोपानी ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 40 mm और लंबाई 1.2 m है; खंड BC का व्यास 30 mm और लंबाई 2 m है। मुक्त सिरे C पर 100 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C का मरोड़ कोण φC डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 100 N·md1 = 40 mm, L1 = 1.2 md2 = 30 mm, L2 = 2 mG = 26 GPa
φC = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
40 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 2 m और B से 2.5 m पर C पर 200 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। खंड C का घूर्णन कोण φC डिग्री में ज्ञात कीजिए।
d = 40 mmT0 = 200 N·ma = 2 mb = 2.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
आलंब A से x = 3 m पर खंड में अपरूपण बल Vx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 10 mw = 8 kN/m, 0 से 10 m तकx = 3 m
Vx = kN
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 6 mP = 25 kN पर 4 mw = 5 kN/m, 0 से 6 m तक
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
120 mm × 240 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 60 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 96 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
b = 120 mmh = 240 mmd = 60 mmछिद्र का केंद्र: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक सममित I-खंड के फ़्लेंज 160 mm चौड़े और 18 mm मोटे हैं, कुल गहराई 340 mm है और वेब 10 mm मोटा है। यह अक्ष x के परितः 50 kN·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। खंड में अधिकतम बंकन प्रतिबल σmax का परिमाण ज्ञात कीजिए।
B = 160 mmH = 340 mmtf = 18 mmtw = 10 mmM = 50 kN·m
σmax = MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।
σx = 150 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
800 mm भीतरी व्यास और 15 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 0.8 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 55° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के साथ कार्य करने वाले अपरूपण प्रतिबल |τn| का परिमाण ज्ञात कीजिए।
D = 800 mmt = 15 mmp = 0.8 MPaα = 55°
|τn| = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 0.5 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δB ज्ञात कीजिए।
P = 23 kNa = 0.5 mL = 2 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।
w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 20 mm
σcr = MPa
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: P = 59.14 kN
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²
नम्यताएँ
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314.2) = 4.775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
भार
P = 0.4/6.764 × 10⁻⁶ = 59136 N = 59.14 kN
उत्तर
P = 59.14 kN
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σ2 = 16.74 MPa
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
कठोरताएँ
k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm
खंड 2 का हिस्सा
F2 = 40000·98960/334580 = 11831 N
प्रतिबल
σ2 = 11831/706.9 = 16.74 MPa (संपीडन)
उत्तर
σ2 = 16.74 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φC = 6.595 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय आघूर्ण
J1 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
हर खंड का मरोड़
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 100000·1200/(26000·251327) = 0.01836 rad
φBC = 100000·2000/(26000·79522) = 0.09673 rad
कुल मरोड़
φC = 0.01836 + 0.09673 = 0.1151 rad = 6.595°
उत्तर
φC = 6.595°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φC = 0.6333 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल TA + TB = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।
संतुलन और संगतता
TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·2.5/4.5 = 111.1 N·m
TB = 200·2/4.5 = 88.89 N·m
C का घूर्णन
खंड AC का उपयोग करें: यह A पर स्थिर है और TA वहन करता है।
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 111111·2000/(80000·251327) = 0.01105 rad = 0.6333°
उत्तर
φC = 0.6333°
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Vx = 16 kN
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
x = 3 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
V = RA − (कट के बाईं ओर सभी नीचे की ओर भार)
Vx = 40 − 8·3 = 16 kN
उत्तर
Vx = 16 kN
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 53.33 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 25·4 + 5·6·3
RB = 190/6 = 31.67 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 31.67 = 23.33 kN
V = 0 कहाँ है?
V(4⁻) = RA − w·4 = 3.333 kN
V(4⁺) = 3.333 − 25 = −21.67 kN
भार पर अपरूपण का चिह्न बदलता है, इसलिए अधिकतम भार के नीचे है।
अधिकतम आघूर्ण
Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 23.33·4 − 5·4²/2 = 53.33 kN·m
उत्तर
Mmax = 53.33 kN·m
यह A से x = 4 m पर होता है।
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 135.8 × 10⁶ mm⁴
छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।
केंद्रक
ȳ = (28800·120 − 2827·96)/(28800 − 2827) = 122.6 mm
ȳ के परितः पूरी प्लेट
120·240³/12 + 28800·−2.613² = 138.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ के परितः छिद्र
π·60⁴/64 + 2827·−26.61² = 2.639 × 10⁶ mm⁴
घटाइए
Ix = 135.8 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 135.8 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: σmax = 49.17 MPa
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
बाहरी आयत में से दोनों पार्श्व कटाव घटाकर
दोनों कटाव मिलकर (B − tw) चौड़े और hw = H − 2tf ऊँचे हैं, और उनकी अक्ष x एक ही है।
hw = 340 − 2·18 = 304 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·340³ − 150·304³)/12
Ix = 1.729 × 10⁸ mm⁴
बंकन प्रतिबल
y = 170 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·170/1.729 × 10⁸ = 49.17 MPa
उत्तर
σmax = 49.17 MPa
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: θp = 28.15 °
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण
मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।
2θp = atan2(2·30, 150 − 110) = 56.31°
अवयव पर कोण
θp = 28.15°
उत्तर
θp = 28.15°
धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: |τn| = 5.012 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पतली दीवार का बेलन: परिधीय प्रतिबल σh = pr/t और अक्षीय प्रतिबल σa = pr/(2t); ये दीवार में मुख्य प्रतिबल हैं।
दीवार के प्रतिबल
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 0.8·400/15 = 21.33 MPa
σa = pr/(2t) = 10.67 MPa
सीवन पर रूपांतरित करें
x को अक्ष के साथ (σa) और y को परिधि के साथ (σh) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।
|τn| = (21.33 − 10.67)·sin 55°·cos 55° = 5.012 MPa
उत्तर
|τn| = 5.012 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δB = 39.93 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 23000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²
मुक्त सिरे पर विक्षेप
भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।
δP = Pa³/(3EI) = 7.26 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.02178 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 39.93 mm
उत्तर
δB = 39.93 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: Ireq = 41.85 × 10⁶ mm⁴
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
विक्षेप सीमा
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
आवश्यक जड़त्व आघूर्ण
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·70000·13.89) = 4.185 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 41.85 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ireq = 41.85 × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 24.48 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/4200² = 24478 N = 24.48 kN
उत्तर
Pcr = 24.48 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 21.93 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/5 = 300
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa
उत्तर
σcr = 21.93 MPa
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