लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
विभाजक वोल्टताएँ
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
निर्गम
Vab = Va − Vb
संतुलन
R1/R2 = R3/R4
स्लाइड-तार सेतु
R/Rx = l/(100 − l)
थेवेनिन प्रतिरोध
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
गेज गुणांक
ΔR/R = GF·ε
सेतु निर्गत
चतुर्थांश Vs·GF·ε/4, अर्ध Vs·GF·ε/2, पूर्ण Vs·GF·ε
छोटा परिवर्तन, एक भुजा
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
प्रतिबल
σ = E·ε
विधि
सेतु को एक ही आपूर्ति के पार दो वोल्टता विभाजक मानिए।
संतुलन के लिए R₁/R₂ = R₃/R₄ रखिए और अज्ञात प्रतिरोधक के लिए हल कीजिए।
असंतुलित सेतु के लिए विभाजकों से Va और Vb निकालकर घटाइए; जब कोई मापी निर्गत पर भार डाले तब थेवेनिन तुल्य का उपयोग कीजिए।
स्ट्रेन गेज के लिए विकृति को ΔR/R = GF·ε में बदलिए और चतुर्थांश, अर्ध या पूर्ण सेतु के लिए क्रमशः Vs·GF·ε/4, /2 या ×1 का उपयोग कीजिए।
स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
तंत्र प्रकार
G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A
ess = A/(1 + Kp)
रैंप A·t
ess = A/Kv
परवलय A·t²/2
ess = A/Ka
PID नियंत्रक
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य
s² + 2ζωns + ωn²
अतिलंघन और समय
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)
विधि
विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए Kp, रैंप के लिए Kv, परवलय के लिए Ka।
ess = A/(1 + Kp), A/Kv या A/Ka लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।
2अभ्यास प्रश्न
1.DC मोटरेंमध्यम
k = 0.5 V·s/rad वाली एक DC मोटर 48 V से चलती है। अनिरोध पर सभी हानियाँ नगण्य मानते हुए rpm में इसकी अनिरोध चाल n0 ज्ञात कीजिए।
V = 48 Vk = 0.5 V·s/rad
n0 = rpm
2.DC मोटरेंकठिन
एक छोटी DC मोटर का आर्मेचर प्रतिरोध 0.5 Ω है और यह 48 V से चलती है। घूर्णन हानियाँ नगण्य मानते हुए, किसी भी चाल पर यह जो सबसे अधिक यांत्रिक शक्ति Pmax विकसित कर सकती है, ज्ञात कीजिए।
V = 48 VRa = 0.5 Ω
Pmax = W
3.गियर और गियर ट्रेनमध्यम
1450 rpm पर चल रही एक 11 kW मोटर 20 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 72 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 95% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T1 ज्ञात कीजिए।
P = 11 kWn1 = 1450 rpmN1 = 20N2 = 72η = 95%
T1 = N·m
4.गियर और गियर ट्रेनकठिन
एक खुला पट्टा 200 mm की घिरनी और 400 mm की घिरनी को जोड़ता है, जिनके केंद्र 1000 mm दूर हैं। छोटी घिरनी पर लपेट कोण θ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
d1 = 200 mmd2 = 400 mmC = 1000 mm
θ = °
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनमध्यम
0 से 10 V निवेश परिसर वाला 12-बिट ADC छाँटता है: उसका निर्गत कोड ⌊Vin/LSB⌋ है, जहाँ 1 LSB = VFSR/2ᴺ। 2.311 V के निवेश के लिए दशमलव निर्गत कोड D ज्ञात कीजिए।
N = 12VFSR = 10 VVin = 2.311 V
D =
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक ऑडियो मापन को पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए कम से कम 60 dB का आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात चाहिए। ADC के बिटों की न्यूनतम संख्या N ज्ञात कीजिए।
SQNR ≥ 60 dB
N =
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजमध्यम
एक सेतु की चारों भुजाएँ 1000 Ω की हैं और Vs = 9 V है। संवेदक R₂ में ΔR = 4 Ω की वृद्धि होती है। छोटे परिवर्तन के सन्निकटन से mV में निर्गत Vab ज्ञात कीजिए।
Vs = 9 VR = 1000 ΩΔR = 4 Ω
Vab = mV
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजकठिन
E = 210 GPa वाले किसी सदस्य पर लगा एक स्ट्रेन गेज (GF = 2) 10 V से उत्तेजित चतुर्थांश सेतु बनाता है। निर्गत 7.5 mV पढ़ता है। MPa में अक्षीय प्रतिबल σ ज्ञात कीजिए।
Vs = 10 VGF = 2Vo = 7.5 mVE = 210 GPa
σ = MPa
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम
निवेश r(t) = 10 + 2t (एक सोपान और एक रैंप का योग) G(s) = 50/(s(s + 4)(s + 5)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि ess ज्ञात कीजिए।
G(s) = 50/(s(s + 4)(s + 5))r(t) = 10 + 2t
ess =
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन
एक आनुपातिक नियंत्रक K = 2 संयंत्र G(s) = 5/(s(s + 5)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। सोपान अनुक्रिया का शिखर समय tp ज्ञात कीजिए।
G(s) = 5/(s(s + 5))K = 2
tp = s
11.सोपान अनुक्रियामध्यम
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 136/(s² + 12s + 68) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
G(s) = 136/(s² + 12s + 68)
%OS = %
12.सोपान अनुक्रियाकठिन
शून्यों के बिना एक द्वितीय-कोटि तंत्र की सोपान अनुक्रिया 12 % अतिलंघन दिखाती है, और पहला शिखर t = 0.2 s पर आता है। प्राकृतिक आवृत्ति ωn ज्ञात कीजिए।
%OS = 12 %tp = 0.2 s
ωn = rad/s
3विलयन
1.DC मोटरें
उत्तर: n0 = 916.7 rpm
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
अनिरोध चाल
ω₀ = V/k = 48/0.5 = 96 rad/s
n0 = 60·96/(2π) = 916.7 rpm
उत्तर
n0 = 916.7 rpm
2.DC मोटरें
उत्तर: Pmax = 1152 W
DC मोटर: आर्मेचर प्रतिरोध Ra है जो back-EMF E के श्रेणीक्रम में है, इसलिए V = E + Ia·Ra। back-EMF चाल के साथ बढ़ता है, E = k·ω, और बल-आघूर्ण धारा के साथ, T = k·Ia, दोनों में एक ही मोटर स्थिरांक k (SI इकाइयों में V·s/rad = N·m/A) होता है। चाल को ω = 2π·n/60 से बदलिए। विकसित शक्ति E·Ia = T·ω है; निवेश शक्ति V·Ia है, और ताम्र हानि Ia²Ra तथा घूर्णन हानि इनका अंतर बनाती हैं। चाल बल-आघूर्ण के साथ सरल रेखा में घटती है, ω = V/k − Ra·T/k², अनिरोध चाल V/k से शून्य तक, जो रुद्ध बल-आघूर्ण k·V/Ra पर होती है। विराम अवस्था में E = 0 होता है, इसलिए प्रारंभिक धारा V/Ra बड़ी होती है, जब तक कोई प्रतिरोध उसे सीमित न करे।
back-EMF के फलन के रूप में शक्ति
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V
अधिकतम शक्ति
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·0.5) = 1152 W
उत्तर
Pmax = 1152 W
इस बिंदु पर दक्षता केवल 50 % है, इसलिए वास्तविक मोटरें आधी चाल से काफ़ी ऊपर चलती हैं।
3.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: T1 = 72.44 N·m
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
मोटर बलाघूर्ण
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/151.8 = 72.44 N·m
उत्तर
T1 = 72.44 N·m
4.गियर और गियर ट्रेन
उत्तर: θ = 168.5 °
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
पट्टे का कोण
asin(0.1) = 5.739°
लपेट कोण
θ = 180 − 2·5.739 = 168.5°
उत्तर
θ = 168.5°
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: D = 946
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
चरण आकार
1 LSB = 10/212 = 2.441 mV
कोड
Vin/LSB = 2311/2.441 = 946.6
कोड = ⌊946.6⌋ = 946
उत्तर
D = 946
द्विआधारी में यह 001110110010 है।
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: N = 10
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
N के लिए हल करें
N ≥ (60 − 1.76)/6.02 = 9.674
ऊपर पूर्णांकित करें
N = 10
जाँच: 6.02·10 + 1.76 = 61.96 dB ≥ 60 dB
उत्तर
N = 10
7.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: Vab = 9 mV
व्हीटस्टोन सेतु: दो वोल्टता विभाजक एक ही आपूर्ति Vs साझा करते हैं। बायाँ विभाजक R1–R2 Va = Vs·R2/(R1 + R2) देता है और दायाँ विभाजक R3–R4 Vb = Vs·R4/(R3 + R4) देता है; निर्गत Vab = Va − Vb है। सेतु संतुलित (Vab = 0, मापी में कोई धारा नहीं) तब होता है जब R1/R2 = R3/R4, यानी R1·R4 = R2·R3। निर्गत के सिरों से देखने पर सेतु एक थेवेनिन स्रोत है जिसमें Rth = R1∥R2 + R3∥R4।
सापेक्ष परिवर्तन
ΔR/R = 4/1000 = 0.004
रैखिकीकृत निर्गत
Vab ≈ 9·0.004/4 = 9 mV
उत्तर
Vab = 9 mV
यथार्थ मान 8.982 mV है; सन्निकटन तब तक अच्छा है जब तक ΔR/R छोटा है।
8.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज
उत्तर: σ = 315 MPa
स्ट्रेन गेज: गेज विकृति के साथ अपना प्रतिरोध बदलता है: ΔR/R = GF·ε, जहाँ धात्विक फ़ॉइल के लिए गेज गुणांक GF लगभग 2 होता है। सभी भुजाएँ R के बराबर वाले सेतु में एक सक्रिय गेज (चतुर्थांश सेतु) Vo ≈ Vs·GF·ε/4 देता है। आसन्न भुजाओं में विपरीत विकृति वाले दो सक्रिय गेज (अर्ध सेतु) Vs·GF·ε/2 देते हैं, और चार (पूर्ण सेतु) Vs·GF·ε देते हैं। प्रतिबल हुक के नियम से मिलता है, σ = E·ε। लोड सेल अपनी संवेदनशीलता mV/V में बताते हैं: प्रति वोल्ट उत्तेजन पर पूर्ण भार पर निर्गत।
विकृति
ε = 4·0.0075/(10·2) = 0.0015
प्रतिबल
σ = 210·10³ MPa·0.0015 = 315 MPa
उत्तर
σ = 315 MPa
9.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: ess = 0.8
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
वेग स्थिरांक
Kv = lim s·G(s) = 2.5
सोपान वाला भाग
Kp = ∞ → estep = 0
रैंप त्रुटि
ess = 2/2.5 = 0.8
उत्तर
ess = 0.8
10.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण
उत्तर: tp = 1.622 s
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
अभिलाक्षणिक बहुपद
s(s + 5) + 2·5 = s² + 5s + 10
ωₙ और ζ
ωₙ = √10 = 3.162 rad/s
ζ = 5/(2·3.162) = 0.7906
शिखर काल
ωd = 3.162·√(1 − 0.7906²) = 1.936 rad/s
tp = π/1.936 = 1.622 s
उत्तर
tp = 1.622 s
11.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: %OS = 3.572 %
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
मानक रूप से तुलना करें
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
ωₙ² = 68 → ωₙ = 8.246 rad/s
2ζωₙ = 12 → ζ = 12/(2·8.246) = 0.7276
परिणाम
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−3.332 = 3.572 %
उत्तर
%OS = 3.572 %
12.सोपान अनुक्रिया
उत्तर: ωn = 18.95 rad/s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।