मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
अनुक्रम और श्रेणियाँ
समांतर अनुक्रम
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या
R = lim |ck/ck+1|
टेलर बहुपद
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
विधि
प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।
आव्यूह और सारणिक
2×2 सारणिक
det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद
(AB)ij = Σk AikBkj
आइगेन मान
det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम
xi = det(Ai)/det(A)
अवकल समीकरण
चरघातांकी वृद्धि/क्षय
dy/dt = ky → y = y0ekt
अर्ध-आयु
k = ln 2 / t½
न्यूटन का शीतलन नियम
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
समाकलन गुणक
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2अभ्यास प्रश्न
1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
n = 2 पट्टियों के साथ सिम्पसन नियम से ∫01.5 1/(1 + x³) dx का सन्निकटन करें। S दें।
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 2
S =
2.संख्यात्मक विधियाँकठिन
y′ = t − y, y(0) = 2 के लिए h = 0.5 के साथ यूलर विधि से y5 ≈ y(2.5) आकलित करें।
y′ = t − yy(0) = 2h = 0.5
y5 =
3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
चारों श्रेणियों में से ठीक एक अभिसरित होती है। उस पर क्लिक करें।
f(x) = sin x का सन्निकटन x = 1.5 पर घात n के मैकलॉरिन बहुपद से किया गया है। लाग्रांज सीमा M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! और M = 1 के साथ वह सबसे छोटी घात n ज्ञात करें जो त्रुटि को 1 × 10⁻⁵ से कम होना सुनिश्चित करे।
f(x) = sin xx = 1.5M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.आव्यूह और सारणिकमध्यम
दिखाए गए आव्यूहों के लिए C = AB मान लें। अवयव c22 (पंक्ति 2, स्तंभ 2) ज्ञात करें।
A = [1 3; 3 −2]B = [1 −1; −4 −6]
c22 =
6.आव्यूह और सारणिककठिन
निकाय −x + 4y = 5 और −3x + 4y = 0 हल करें। x ज्ञात करें।
−x + 4y = 5−3x + 4y = 0
x =
7.अवकल समीकरणमध्यम
y(0) = 2 और y′(0) = -1 के साथ y″ + 4y′ + 4y = 0 हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = -1
y(2) =
8.अवकल समीकरणकठिन
एक टैंक में 1000 L शुद्ध जल है। प्रति लीटर 0.25 kg नमक वाला लवणजल 20 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। कितने मिनट t बाद टैंक में 100 kg नमक होगा?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0.25 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3विलयन
1.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: S = 1.01
संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।
नोड और मान
h = 0.75
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0.703297 + 0.228571 = 4.041758
सिम्पसन नियम
S = (0.75/3)·4.041758 = 1.01
उत्तर
S = 1.01
इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।
2.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: y5 = 1.594
y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।
यूलर चरण
y₁ = 2 + 0.5·(−2) = 1
y₂ = 1 + 0.5·(−0.5) = 0.75
y₃ = 0.75 + 0.5·(0.25) = 0.875
y₄ = 0.875 + 0.5·(0.625) = 1.1875
y₅ = 1.1875 + 0.5·(0.8125) = 1.59375
ग्राफ़
y5 = 1.594
उत्तर
y5 = 1.594
यथार्थ मान y(2.5) = 1.746255 है।
3.अनुक्रम और श्रेणियाँ
उत्तर: A: Σ 1/(2ᵏ + k)
अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।
हर श्रेणी का परीक्षण करें
A: Σ 1/(2ᵏ + k) → (1/2)ᵏ से छोटी, जो अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी है: तुलना से अभिसरित होती है।
B: Σ (5/3)ᵏ → r = 5/3 > 1 वाली गुणोत्तर श्रेणी: पद बढ़ते हैं, इसलिए अपसरित होती है।
C: Σ (k + 4)/k² → बड़े k के लिए 1/k जैसा व्यवहार करती है: हरात्मक श्रेणी से तुलना द्वारा अपसरित होती है।
D: Σ k!/2ᵏ → अनुपात परीक्षण: L = lim (k + 1)/2 = ∞, अपसरित होती है।
उत्तर
A: Σ 1/(2ᵏ + k)
उत्तर
A: Σ 1/(2ᵏ + k)
4.अनुक्रम और श्रेणियाँ
उत्तर: n = 10
टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।
बढ़ते n के लिए सीमाएँ
n = 9: 1.589 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 10: 2.167 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
सबसे छोटी घात
n = 10
उत्तर
n = 10
5.आव्यूह और सारणिक
उत्तर: c22 = 9
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
पंक्ति गुणा स्तंभ
c22 = 3·(−1) + (−2)·(−6) = 9
उत्तर
c22 = 9
6.आव्यूह और सारणिक
उत्तर: x = 2.5
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
गुणांक आव्यूह का सारणिक
det A = (−1)·4 − 4·(−3) = 8
x स्तंभ बदलें
det Aₓ = 5·4 − 4·0 = 20
x = 20/8 = 2.5
उत्तर
x = 2.5
y = 1.875
7.अवकल समीकरण
उत्तर: y(2) = 0.1465
द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।
द्विगुण मूल
(r + 2)² = 0 → r = −2
अचर
A = y(0) = 2
y′(0) = B − 2A → B = -1 + 4 = 3
मान निकालें
y(2) = (2 + 3·2)·e−4 = 0.1465
उत्तर
y(2) = 0.1465
8.अवकल समीकरण
उत्तर: t = 25.54 min
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।