संख्यात्मक विधियाँ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

  1. मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
  2. सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
  3. समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
  4. ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या
R = lim |ck/ck+1|
टेलर बहुपद
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

  1. प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
  2. योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
  3. अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
  4. टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक
det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद
(AB)ij = Σk AikBkj
आइगेन मान
det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम
xi = det(Ai)/det(A)

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय
dy/dt = ky → y = y0ekt
अर्ध-आयु
k = ln 2 / t½
न्यूटन का शीतलन नियम
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
समाकलन गुणक
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

समलंब नियम ∫02 eˣ dx के लिए उपयोग किया गया है। त्रुटि अधिकतम (b − a)³·M/(12n²) है, जहाँ M = [0, 2] पर max|f″| है। पट्टियों की वह सबसे छोटी संख्या n ज्ञात करें जो त्रुटि को 0.0005 से कम होना सुनिश्चित करे।

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0.0005
n =
2.संख्यात्मक विधियाँकठिन
00.050.10.150.211.11.2ty(0, 1)

y′ = e−ty, y(0) = 1 के लिए h = 0.1 के साथ ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) से y2 ≈ y(0.2) आकलित करें।

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0.1
y2 =
3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
xx₀ = −1??R

घात श्रेणी Σk=1∞ k·4ᵏ·(x + 1)ᵏ x₀ = −1 के आसपास एक अंतराल पर अभिसरित होती है। उस अंतराल का दायाँ सिरा x ज्ञात करें।

Σ k·4ᵏ·(x + 1)ᵏx₀ = −1
x =
4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

f(x) = sin x का सन्निकटन x = 2 पर घात n के मैकलॉरिन बहुपद से किया गया है। लाग्रांज सीमा M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! और M = 1 के साथ वह सबसे छोटी घात n ज्ञात करें जो त्रुटि को 1 × 10⁻⁶ से कम होना सुनिश्चित करे।

f(x) = sin xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.आव्यूह और सारणिकमध्यम
A =−145−3−44−25−3

दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [−1 4 5; −3 −4 4; −2 5 −3]
det A =
6.आव्यूह और सारणिककठिन
A =317−3

दिखाए गए आव्यूह A का बड़ा आइगेनमान λ ज्ञात करें।

A = [3 1; 7 −3]
λ =
7.अवकल समीकरणमध्यम
tyy(0) = 2y(1) = ?

y(0) = 2 और y′(0) = -2 के साथ y″ + 4y′ + 3y = 0 हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(1) =
8.अवकल समीकरणकठिन
tyy(0) = 5y(1.5) = ?

y(0) = 5 और y′(0) = 0 (विराम से छोड़ा गया) के साथ y″ + 4y′ + 13y = 0 हल कीजिए। y(1.5) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।

y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =

3विलयन

1.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: n = 100

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

द्वितीय अवकलज की सीमा

M = e2 = 7.389

n ज्ञात करें

n² > 8·7.389/(12·0.0005) = 9852
n > 99.26 → n = 100

उत्तर

n = 100
2.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y2 = 1.179

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁00110.8958341.09479210.11.0947920.8963010.7890831.179061

ह्यून चरण

y₁ = 1 + (0.1/2)(1 + 0.895834) = 1.094792
y₂ = 1.094792 + (0.1/2)(0.896301 + 0.789083) = 1.179061
00.050.10.150.211.11.2ty

ग्राफ़

y2 = 1.179

उत्तर

y2 = 1.179
3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: x = −0.75

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

गुणांक

ck/ck+1 = (1/4)·(k/(k + 1)) → 1/4

त्रिज्या

R = 0.25

अंतराल

−1.25 < x < −0.75
x = −0.75

उत्तर

x = −0.75

अनुपात परीक्षण दोनों अंत बिंदुओं पर कुछ नहीं कहता; उन्हें अलग से जाँचना होता है।

4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: n = 13

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

n(n + 1)!सीमा261.3333240.666741200.266757200.08889650400.02547403200.00634983628800.001411936288000.000282210399168005.131 × 10⁻⁵114790016008.551 × 10⁻⁶1262270208001.316 × 10⁻⁶13871782912001.879 × 10⁻⁷

बढ़ते n के लिए सीमाएँ

n = 12: 1.316 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 13: 1.879 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

सबसे छोटी घात

n = 13

उत्तर

n = 13
5.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: det A = −175

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक

M₁₁ = −8, M₁₂ = 17, M₁₃ = −23

सहखंड प्रसार

det A = (−1)·(−8) − 4·17 + 5·(−23) = −175

उत्तर

det A = −175
6.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: λ = 4

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

अभिलाक्षणिक समीकरण

λ² − (0)λ + (−16) = 0

हल करें

λ = (0 ± √(64))/2 → λ = −4, 4
λ = 4

उत्तर

λ = 4
7.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1) = 0.7358

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

अभिलक्षणिक मूल

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

प्रारंभिक मानों से अचर

A + B = 2, −1A − 3B = -2
A = 2, B = 0

मान निकालें

y(1) = 2·e−1 + 0·e−3 = 0.7358

उत्तर

y(1) = 0.7358
8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1.5) = −0.2147

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

सम्मिश्र मूल

r = −2 ± 3j

अचर

A = 5, B = 2·5/3 = 3.333

मान निकालें

y(1.5) = e−3(5·cos 4.5 + 3.333·sin 4.5) = −0.2147

उत्तर

y(1.5) = −0.2147

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