संख्यात्मक विधियाँ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या: R = lim |c_k/c_k+1|
टेलर बहुपद: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक: det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
आइगेन मान: det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम: x_i = det(A_i)/det(A)

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

∫₀² x³ dx का सन्निकटन समलंब नियम से n = 2 के साथ करें और यथार्थ मान से तुलना करें। निरपेक्ष त्रुटि |E| = |T − I| ज्ञात करें।

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

2.संख्यात्मक विधियाँकठिन

y′ = t − y, y(0) = 1 को यूलर विधि से चरण h = 0.5 के साथ t = 1.5 तक हल करें। यथार्थ हल y = t − 1 + (y₀ + 1)e^−t है। वैश्विक त्रुटि |E| = |y(1.5) − y₃| ज्ञात करें।

y′ = t − yy(0) = 1h = 0.5

|E| =

3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम

चारों श्रेणियों में से ठीक एक अपसरित होती है। उस पर क्लिक करें।

A: Σ k³/2ᵏB: Σ (−1)ᵏ/kC: Σ (1/3)ᵏD: Σ 2ᵏ/k³

1A: Σ k³/2ᵏ
2B: Σ (−1)ᵏ/k
3C: Σ (1/3)ᵏ
4D: Σ 2ᵏ/k³

4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

श्रेणी को पहचानें और उसका योग ज्ञात करें: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·0.5^2k+1/(2k + 1)!।

a_k = (−1)ᵏ·0.5^2k+1/(2k + 1)!

S =

5.आव्यूह और सारणिकमध्यम

दिखाए गए आव्यूहों के लिए C = AB मान लें। अवयव c₂₂ (पंक्ति 2, स्तंभ 2) ज्ञात करें।

A = [3 −2; 0 3]B = [1 −6; −5 3]

c₂₂ =

6.आव्यूह और सारणिककठिन

दिखाए गए आव्यूह A का बड़ा आइगेनमान λ ज्ञात करें।

A = [−3 −1; −7 3]

λ =

7.अवकल समीकरणमध्यम

90 °C पर कॉफ़ी का एक कप 24 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 14 min के बाद इसका तापमान 40 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।

T₀ = 90 °CT_a = 24 °CT(14) = 40 °C

k = min⁻¹

8.अवकल समीकरणकठिन

x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + y/x = 3x को y(1) = 4 के साथ हल कीजिए। y(3) ज्ञात कीजिए।

y′ + y/x = 3xy(1) = 4

y(3) =

3विलयन

1.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: |E| = 1

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

यथार्थ मान

I = 4

समलंब नियम

T = (1/2)·(0 + 2·1 + 8) = 5

त्रुटि

|E| = |5 − 4| = 1

उत्तर

|E| = 1

सापेक्ष त्रुटि: 25%।

2.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: |E| = 0.1963

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

यूलर चरण

y₃ = 0.75

यथार्थ मान

y(1.5) = 0.94626

वैश्विक त्रुटि

|E| = |0.94626 − 0.75| = 0.1963

ग्राफ़

उत्तर

|E| = 0.1963

h को आधा करने पर यूलर विधि की त्रुटि लगभग आधी हो जाती है।

3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: D: Σ 2ᵏ/k³

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|; मूल परीक्षण: L = lim |a_k|^1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σc_k(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |c_k/c_k+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

हर श्रेणी का परीक्षण करें

A: Σ k³/2ᵏ → अनुपात परीक्षण: L = 1/2 < 1, अभिसरित होती है।

B: Σ (−1)ᵏ/k → एकांतर, 1/k के 0 की ओर घटने के साथ: (सशर्त) अभिसरित होती है।

C: Σ (1/3)ᵏ → r = 1/3 वाली गुणोत्तर श्रेणी, |r| < 1: अभिसरित होती है।

D: Σ 2ᵏ/k³ → अनुपात परीक्षण: L = 2 > 1, अपसरित होती है।

उत्तर

D: Σ 2ᵏ/k³

उत्तर

D: Σ 2ᵏ/k³

4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: S = 0.4794

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

मानक श्रेणियाँ

Σ (−1)ᵏx^2k+1/(2k + 1)! = sin x

मान रखें

x = 0.5

S = sin 0.5 = 0.4794

उत्तर

S = 0.4794

5.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: c₂₂ = 9

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पंक्ति गुणा स्तंभ

c₂₂ = 0·(−6) + 3·3 = 9

उत्तर

c₂₂ = 9

6.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: λ = 4

अभिलाक्षणिक समीकरण

λ² − (0)λ + (−16) = 0

हल करें

λ = (0 ± √(64))/2 → λ = −4, 4

λ = 4

उत्तर

λ = 4

7.अवकल समीकरण

उत्तर: k = 0.1012 min⁻¹

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

तापमान अंतरों का अनुपात

e^−14k = 16/66

k के लिए हल करें

k = ln(66/16)/14 = 0.1012 min⁻¹

उत्तर

k = 0.1012 min⁻¹

8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(3) = 10

समाकलन गुणक

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

समाकलन करें

(x¹y)′ = 3x² → x¹y = 3x³/3 + C

प्रारंभिक प्रतिबंध

4 = 3/3 + C → C = 3

मान निकालें

y(3) = (3·3³/3 + 3)/3¹ = 10

उत्तर

y(3) = 10

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