संख्यात्मक विधियाँ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या: R = lim |c_k/c_k+1|
टेलर बहुपद: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक: det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
आइगेन मान: det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम: x_i = det(A_i)/det(A)

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

n = 5 पट्टियों के साथ समलंब नियम से ∫₀^1.5 1/√(1 + x⁴) dx का सन्निकटन करें। T दें।

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1.5]n = 5

T =

2.संख्यात्मक विधियाँकठिन

y′ = cos t − y, y(0) = 3 के लिए h = 0.2 के साथ मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) का एक चरण लें। y₁ ≈ y(0.2) ज्ञात करें।

y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0.2

y₁ =

3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम

घात श्रेणी Σ_k=1^∞ 25ᵏx²ᵏ/k की अभिसरण त्रिज्या R ज्ञात करें।

Σ 25ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

f(x) = sin x का सन्निकटन x = −0.5 पर घात 5 के मैकलॉरिन बहुपद से किया गया है। लाग्रांज त्रुटि सीमा M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! को M = 1 के साथ उपयोग करके अधिकतम संभव त्रुटि |R₅| ज्ञात करें।

f(x) = sin xn = 5x = −0.5M = 1

|R₅| =

5.आव्यूह और सारणिकमध्यम

दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [4 −2 5; 1 4 −2; −1 −1 −4]

det A =

6.आव्यूह और सारणिककठिन

निकाय 3x − 6y = −8 और −3x − 5y = 8 हल करें। x ज्ञात करें।

3x − 6y = −8−3x − 5y = 8

x =

7.अवकल समीकरणमध्यम

y(0) = 5 और y′(0) = 4 के साथ y″ + 7y′ + 12y = 0 हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 5y′(0) = 4

y(2) =

8.अवकल समीकरणकठिन

एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 4y′ + 13y = 130 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। उसकी पग अनुक्रिया का शिखर मान y_max ज्ञात कीजिए।

y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3विलयन

1.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: T = 1.196

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

नोड और मान

h = 0.3

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0.995974 + 2·0.940887 + 2·0.777064 + 2·0.570396 + 0.406138 = 7.974782

समलंब नियम

T = (0.3/2)·7.974782 = 1.196

उत्तर

T = 1.196

इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।

2.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y₁ = 2.636

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

चार ढालें

k₁ = f(0, 3) = −2

k₂ = f(0.1, 2.8) = −1.804996

k₃ = f(0.1, 2.8195) = −1.824496

k₄ = f(0.2, 2.635101) = −1.655034

मिलाएँ

y₁ = 3 + (0.2/6)(−2 + 2·−1.804996 + 2·−1.824496 − 1.655034) = 2.636

उत्तर

y₁ = 2.636

3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: R = 0.2

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|; मूल परीक्षण: L = lim |a_k|^1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σc_k(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |c_k/c_k+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

गुणांक

श्रेणी x² में है: यह 25·x² < 1 के लिए अभिसरित होती है, इसलिए |x| < 1/5।

त्रिज्या

R = 0.2

उत्तर

R = 0.2

अनुपात परीक्षण दोनों अंत बिंदुओं पर कुछ नहीं कहता; उन्हें अलग से जाँचना होता है।

4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: |R₅| = 2.17 × 10⁻⁵

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

अवकलज पर सीमा

M = 1

लाग्रांज सीमा

|R₅| ≤ 1·0.5⁶/6! = 2.17 × 10⁻⁵

उत्तर

|R₅| = 2.17 × 10⁻⁵

वास्तविक त्रुटि छोटी है: |f(−0.5) − P₅(−0.5)| = 1.545 × 10⁻⁶।

5.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: det A = −69

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक

M₁₁ = −18, M₁₂ = −6, M₁₃ = 3

सहखंड प्रसार

det A = 4·(−18) − (−2)·(−6) + 5·3 = −69

उत्तर

det A = −69

6.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: x = −2.667

गुणांक आव्यूह का सारणिक

det A = 3·(−5) − (−6)·(−3) = −33

x स्तंभ बदलें

det Aₓ = (−8)·(−5) − (−6)·8 = 88

x = 88/(−33) = −2.667

उत्तर

x = −2.667

y = 0

7.अवकल समीकरण

उत्तर: y(2) = 0.05312

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = e^rt आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·e^r₁t + B·e^r₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·e^rt (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 के रूप में लिखने पर ω_n प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

अभिलक्षणिक मूल

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

प्रारंभिक मानों से अचर

A + B = 5, −3A − 4B = 4

A = 24, B = −19

मान निकालें

y(2) = 24·e⁻⁶ + (−19)·e⁻⁸ = 0.05312

उत्तर

y(2) = 0.05312

8.अवकल समीकरण

उत्तर: y_max = 11.23

स्थिर मान और मूल

y_ss = 10, r = −2 ± 3j

प्रारंभिक मानों से अचर

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −6.667

शिखर

t = π/3 = 1.047

y_max = 10·(1 + e^−2·π/3) = 11.23

उत्तर

y_max = 11.23

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