संख्यात्मक विधियाँ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या: R = lim |c_k/c_k+1|
टेलर बहुपद: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक: det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
आइगेन मान: det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम: x_i = det(A_i)/det(A)

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

n = 5 पट्टियों के साथ समलंब नियम से ∫₀² √x·e^−x dx का सन्निकटन करें। T दें।

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 2]n = 5

T =

2.संख्यात्मक विधियाँकठिन

y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 0.5 के लिए h = 0.2 के साथ मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) का एक चरण लें। y₁ ≈ y(0.2) ज्ञात करें।

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 0.5h = 0.2

y₁ =

3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम

चारों श्रेणियों में से ठीक एक अपसरित होती है। उस पर क्लिक करें।

A: Σ 5ᵏ/k!B: Σ 1/(3ᵏ + k)C: Σ (k + 1)/k²D: Σ 1/k³

1A: Σ 5ᵏ/k!
2B: Σ 1/(3ᵏ + k)
3C: Σ (k + 1)/k²
4D: Σ 1/k³

4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

f(1.5) का सन्निकटन करने के लिए f(x) = e^0.5x की घात 2 का मैकलॉरिन बहुपद उपयोग करें। P₂(1.5) दें।

f(x) = e^0.5xn = 2x = 1.5

P₂(1.5) =

5.आव्यूह और सारणिकमध्यम

दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [4 −4 −3; −4 2 3; −3 −5 −1]

det A =

6.आव्यूह और सारणिककठिन

दिखाए गए आव्यूह A का बड़ा आइगेनमान λ ज्ञात करें।

A = [2 3; −2 −5]

λ =

7.अवकल समीकरणमध्यम

92 °C पर कॉफ़ी का एक कप 23 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 22 min के बाद इसका तापमान 29 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।

T₀ = 92 °CT_a = 23 °CT(22) = 29 °C

k = min⁻¹

8.अवकल समीकरणकठिन

y(0) = 1 के साथ y′ + 2y = 3e^−t हल कीजिए। y(0.5) ज्ञात कीजिए।

y′ + 2y = 3e^−ty(0) = 1

y(0.5) =

3विलयन

1.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: T = 0.6027

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

नोड और मान

h = 0.4

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.423948 + 2·0.401892 + 2·0.329942 + 2·0.255381 + 0.191393 = 3.013718

समलंब नियम

T = (0.4/2)·3.013718 = 0.6027

उत्तर

T = 0.6027

इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।

2.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y₁ = 0.7128

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

चार ढालें

k₁ = f(0, 0.5) = 1

k₂ = f(0.1, 0.6) = 1.059964

k₃ = f(0.1, 0.605996) = 1.060563

k₄ = f(0.2, 0.712113) = 1.141942

मिलाएँ

y₁ = 0.5 + (0.2/6)(1 + 2·1.059964 + 2·1.060563 + 1.141942) = 0.7128

उत्तर

y₁ = 0.7128

3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: C: Σ (k + 1)/k²

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|; मूल परीक्षण: L = lim |a_k|^1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σc_k(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |c_k/c_k+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

हर श्रेणी का परीक्षण करें

A: Σ 5ᵏ/k! → अनुपात परीक्षण: L = lim 5/(k + 1) = 0 < 1, अभिसरित होती है।

B: Σ 1/(3ᵏ + k) → (1/3)ᵏ से छोटी, जो अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी है: तुलना से अभिसरित होती है।

C: Σ (k + 1)/k² → बड़े k के लिए 1/k जैसा व्यवहार करती है: हरात्मक श्रेणी से तुलना द्वारा अपसरित होती है।

D: Σ 1/k³ → p = 3 > 1 वाली p-श्रेणी: अभिसरित होती है।

उत्तर

C: Σ (k + 1)/k²

उत्तर

C: Σ (k + 1)/k²

4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: P₂(1.5) = 2.031

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

मैकलॉरिन बहुपद

P₂(x) = 1 + 0.5x + 0.125x²

मान रखें

P₂(1.5) = 1 + 0.75 + 0.28125 = 2.031

उत्तर

P₂(1.5) = 2.031

यथार्थ मान f(1.5) = 2.117 है; अधिक पद लेने या 0 के निकट बिंदु लेने पर त्रुटि 0.08575 घटती है।

5.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: det A = 26

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक

M₁₁ = 13, M₁₂ = 13, M₁₃ = 26

सहखंड प्रसार

det A = 4·13 − (−4)·13 + (−3)·26 = 26

उत्तर

det A = 26

6.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: λ = 1

अभिलाक्षणिक समीकरण

λ² − (−3)λ + (−4) = 0

हल करें

λ = (−3 ± √(25))/2 → λ = −4, 1

λ = 1

उत्तर

λ = 1

7.अवकल समीकरण

उत्तर: k = 0.111 min⁻¹

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

तापमान अंतरों का अनुपात

e^−22k = 6/69

k के लिए हल करें

k = ln(69/6)/22 = 0.111 min⁻¹

उत्तर

k = 0.111 min⁻¹

8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(0.5) = 1.084

समाकलन गुणक

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 3e^t

व्यापक हल

y = 3/1·e^−t + C·e^−2t = 3·e^−t + C·e^−2t

प्रारंभिक प्रतिबंध

1 = 3 + C → C = −2

मान निकालें

y(0.5) = 3·0.6065 + (−2)·0.3679 = 1.084

उत्तर

y(0.5) = 1.084

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