संख्यात्मक विधियाँ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

  1. मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
  2. सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
  3. समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
  4. ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या
R = lim |ck/ck+1|
टेलर बहुपद
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

  1. प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
  2. योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
  3. अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
  4. टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक
det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद
(AB)ij = Σk AikBkj
आइगेन मान
det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम
xi = det(Ai)/det(A)

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय
dy/dt = ky → y = y0ekt
अर्ध-आयु
k = ln 2 / t½
न्यूटन का शीतलन नियम
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
समाकलन गुणक
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
xy012

n = 2 पट्टियों के साथ सिम्पसन नियम से ∫02 sin(x²) dx का सन्निकटन करें। S दें।

f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
2.संख्यात्मक विधियाँकठिन
00.050.10.150.211.11.2ty(0, 1)

y′ = 1 + sin(ty), y(0) = 1 के लिए h = 0.1 के साथ ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) से y2 ≈ y(0.2) आकलित करें।

y′ = 1 + sin(ty)y(0) = 1h = 0.1
y2 =
3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
AΣ k/5ᵏk = 1 … ∞BΣ k!/3ᵏk = 1 … ∞CΣ (4/3)ᵏk = 1 … ∞DΣ 1/√kk = 1 … ∞

चारों श्रेणियों में से ठीक एक अभिसरित होती है। उस पर क्लिक करें।

A: Σ k/5ᵏB: Σ k!/3ᵏC: Σ (4/3)ᵏD: Σ 1/√k
  1. 1A: Σ k/5ᵏ
  2. 2B: Σ k!/3ᵏ
  3. 3C: Σ (4/3)ᵏ
  4. 4D: Σ 1/√k
4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन
xyfP₃1.5

f(1.5) का सन्निकटन करने के लिए f(x) = sin x की घात 3 का मैकलॉरिन बहुपद उपयोग करें। P₃(1.5) दें।

f(x) = sin xn = 3x = 1.5
P₃(1.5) =
5.आव्यूह और सारणिकमध्यम
A =−4−4−5−13−5−54−2

दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [−4 −4 −5; −1 3 −5; −5 4 −2]
det A =
6.आव्यूह और सारणिककठिन
A =−3−412

दिखाए गए आव्यूह A का बड़ा आइगेनमान λ ज्ञात करें।

A = [−3 −4; 1 2]
λ =
7.अवकल समीकरणमध्यम
t (min)T (°C)17Ta​T = ?

95 °C पर कॉफ़ी का एक कप 23 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.03 min⁻¹ के साथ 17 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।

T0 = 95 °CTa = 23 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 17 min
T = °C
8.अवकल समीकरणकठिन
ty0.5y(0.5) = ?

y(0) = 5 के साथ y′ + 2y = 6e−0.5t हल कीजिए। y(0.5) ज्ञात कीजिए।

y′ + 2y = 6e−0.5ty(0) = 5
y(0.5) =

3विलयन

1.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: S = 0.8697

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

ixᵢf(xᵢ)भार0001110.841471422−0.7568021

नोड और मान

h = 1
Σ wᵢfᵢ = 0 + 4·0.841471 − 0.756802 = 2.609081

सिम्पसन नियम

S = (1/3)·2.609081 = 0.8697

उत्तर

S = 0.8697

इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।

2.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y2 = 1.223

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

ntₙyₙk₁k₂yₙ₊₁00111.1097781.10548910.11.1054891.1103241.2409111.223051

ह्यून चरण

y₁ = 1 + (0.1/2)(1 + 1.109778) = 1.105489
y₂ = 1.105489 + (0.1/2)(1.110324 + 1.240911) = 1.223051
00.050.10.150.211.11.2ty

ग्राफ़

y2 = 1.223

उत्तर

y2 = 1.223
3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: A: Σ k/5ᵏ

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

हर श्रेणी का परीक्षण करें

A: Σ k/5ᵏ → अनुपात परीक्षण: L = 1/5 < 1, अभिसरित होती है।
B: Σ k!/3ᵏ → अनुपात परीक्षण: L = lim (k + 1)/3 = ∞, अपसरित होती है।
C: Σ (4/3)ᵏ → r = 4/3 > 1 वाली गुणोत्तर श्रेणी: पद बढ़ते हैं, इसलिए अपसरित होती है।
D: Σ 1/√k → p = 1/2 ≤ 1 वाली p-श्रेणी: अपसरित होती है।

उत्तर

A: Σ k/5ᵏ

उत्तर

A: Σ k/5ᵏ
4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: P₃(1.5) = 0.9375

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

मैकलॉरिन बहुपद

P₃(x) = x − 0.1667x³

मान रखें

P₃(1.5) = 1.5 − 0.5625 = 0.9375

उत्तर

P₃(1.5) = 0.9375

यथार्थ मान f(1.5) = 0.997495 है; अधिक पद लेने या 0 के निकट बिंदु लेने पर त्रुटि 0.059995 घटती है।

5.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: det A = −203

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक

M₁₁ = 14, M₁₂ = −23, M₁₃ = 11

सहखंड प्रसार

det A = (−4)·14 − (−4)·(−23) + (−5)·11 = −203

उत्तर

det A = −203
6.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: λ = 1

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

अभिलाक्षणिक समीकरण

λ² − (−1)λ + (−2) = 0

हल करें

λ = (−1 ± √(9))/2 → λ = −2, 1
λ = 1

उत्तर

λ = 1
7.अवकल समीकरण

उत्तर: T = 66.24 °C

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन नियम का हल

T(t) = 23 + 72·e−0.03t

t रखें

T(17) = 23 + 72·0.6005 = 66.24 °C

उत्तर

T = 66.24 °C
8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(0.5) = 3.483

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

समाकलन गुणक

μ = e2t
(e2ty)′ = 6e1.5t

व्यापक हल

y = 6/1.5·e−0.5t + C·e−2t = 4·e−0.5t + C·e−2t

प्रारंभिक प्रतिबंध

5 = 4 + C → C = 1

मान निकालें

y(0.5) = 4·0.7788 + 1·0.3679 = 3.483

उत्तर

y(0.5) = 3.483

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