मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
अनुक्रम और श्रेणियाँ
समांतर अनुक्रम
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या
R = lim |ck/ck+1|
टेलर बहुपद
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
विधि
प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।
आव्यूह और सारणिक
2×2 सारणिक
det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद
(AB)ij = Σk AikBkj
आइगेन मान
det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम
xi = det(Ai)/det(A)
अवकल समीकरण
चरघातांकी वृद्धि/क्षय
dy/dt = ky → y = y0ekt
अर्ध-आयु
k = ln 2 / t½
न्यूटन का शीतलन नियम
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
समाकलन गुणक
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2अभ्यास प्रश्न
1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
n = 4 पट्टियों के साथ सिम्पसन नियम से ∫01 √(1 + x³) dx का सन्निकटन करें। S दें।
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 4
S =
2.संख्यात्मक विधियाँकठिन
y′ = t − y, y(0) = 3 के लिए h = 0.5 के साथ ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) से y2 ≈ y(1) आकलित करें।
y′ = t − yy(0) = 3h = 0.5
y2 =
3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
चारों श्रेणियों में से ठीक एक अपसरित होती है। उस पर क्लिक करें।
A: Σ (−1)ᵏ/kB: Σ (3/4)ᵏC: Σ 1/(4k + 3)D: Σ 1/k³
1A: Σ (−1)ᵏ/k
2B: Σ (3/4)ᵏ
3C: Σ 1/(4k + 3)
4D: Σ 1/k³
4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन
f(x) = cos x का सन्निकटन x = 0.5 पर घात 2 के मैकलॉरिन बहुपद से किया गया है। लाग्रांज त्रुटि सीमा M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! को M = 1 के साथ उपयोग करके अधिकतम संभव त्रुटि |R₂| ज्ञात करें।
f(x) = cos xn = 2x = 0.5M = 1
|R₂| =
5.आव्यूह और सारणिकमध्यम
दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।
A = [5 1 −1; 3 0 −3; −2 2 0]
det A =
6.आव्यूह और सारणिककठिन
निकाय 6x − 5y = 6 और −4x − y = −11 हल करें। x ज्ञात करें।
6x − 5y = 6−4x − y = −11
x =
7.अवकल समीकरणमध्यम
82 °C पर कॉफ़ी का एक कप 22 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 14 min के बाद इसका तापमान 35 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 26 °C तक पहुँचता है?
T0 = 82 °CTa = 22 °CT(14) = 35 °CT = 26 °C
t = min
8.अवकल समीकरणकठिन
एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 4y′ + 13y = 130 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। y(0.5) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।
y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
3विलयन
1.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: S = 1.111
संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।
इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।
2.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: y2 = 1.563
y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।
ह्यून चरण
y₁ = 3 + (0.5/2)(−3 − 1) = 2
y₂ = 2 + (0.5/2)(−1.5 − 0.25) = 1.5625
ग्राफ़
y2 = 1.563
उत्तर
y2 = 1.563
यथार्थ मान y(1) = 1.471518 है।
3.अनुक्रम और श्रेणियाँ
उत्तर: C: Σ 1/(4k + 3)
अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।
हर श्रेणी का परीक्षण करें
A: Σ (−1)ᵏ/k → एकांतर, 1/k के 0 की ओर घटने के साथ: (सशर्त) अभिसरित होती है।
B: Σ (3/4)ᵏ → r = 3/4 वाली गुणोत्तर श्रेणी, |r| < 1: अभिसरित होती है।
C: Σ 1/(4k + 3) → बड़े k के लिए 1/(4k) जैसा व्यवहार करती है; हरात्मक श्रेणी से तुलना करने पर अपसरित होती है।
D: Σ 1/k³ → p = 3 > 1 वाली p-श्रेणी: अभिसरित होती है।
उत्तर
C: Σ 1/(4k + 3)
उत्तर
C: Σ 1/(4k + 3)
4.अनुक्रम और श्रेणियाँ
उत्तर: |R₂| = 0.02083
टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक
M₁₁ = 6, M₁₂ = −6, M₁₃ = 6
सहखंड प्रसार
det A = 5·6 − 1·(−6) + (−1)·6 = 30
उत्तर
det A = 30
6.आव्यूह और सारणिक
उत्तर: x = 2.346
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
गुणांक आव्यूह का सारणिक
det A = 6·(−1) − (−5)·(−4) = −26
x स्तंभ बदलें
det Aₓ = 6·(−1) − (−5)·(−11) = −61
x = −61/(−26) = 2.346
उत्तर
x = 2.346
y = 1.615
7.अवकल समीकरण
उत्तर: t = 24.79 min
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
शीतलन स्थिरांक
k = ln(60/13)/14 = 0.1092 min⁻¹
लक्ष्य तक पहुँचने का समय
t = ln(60/4)/0.1092 = 24.79 min
उत्तर
t = 24.79 min
8.अवकल समीकरण
उत्तर: y(0.5) = 7.293
द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।