संख्यात्मक विधियाँ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

  1. मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
  2. सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
  3. समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
  4. ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या
R = lim |ck/ck+1|
टेलर बहुपद
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

  1. प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
  2. योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
  3. अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
  4. टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक
det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद
(AB)ij = Σk AikBkj
आइगेन मान
det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम
xi = det(Ai)/det(A)

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय
dy/dt = ky → y = y0ekt
अर्ध-आयु
k = ln 2 / t½
न्यूटन का शीतलन नियम
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
समाकलन गुणक
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

समलंब नियम ∫02 x³ dx के लिए उपयोग किया गया है। त्रुटि अधिकतम (b − a)³·M/(12n²) है, जहाँ M = [0, 2] पर max|f″| है। पट्टियों की वह सबसे छोटी संख्या n ज्ञात करें जो त्रुटि को 0.0005 से कम होना सुनिश्चित करे।

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0.0005
n =
2.संख्यात्मक विधियाँकठिन
00.050.111.051.1ty(0, 1)

y′ = e−ty, y(0) = 1 के लिए h = 0.1 के साथ मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) का एक चरण लें। y₁ ≈ y(0.1) ज्ञात करें।

y′ = e−tyy(0) = 1h = 0.1
y1 =
3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
AΣ 3/k³k = 1 … ∞BΣ (1/3)ᵏk = 1 … ∞CΣ 1/(k(k + 4))k = 1 … ∞DΣ 3ᵏ/k²k = 1 … ∞

चारों श्रेणियों में से ठीक एक अपसरित होती है। उस पर क्लिक करें।

A: Σ 3/k³B: Σ (1/3)ᵏC: Σ 1/(k(k + 4))D: Σ 3ᵏ/k²
  1. 1A: Σ 3/k³
  2. 2B: Σ (1/3)ᵏ
  3. 3C: Σ 1/(k(k + 4))
  4. 4D: Σ 3ᵏ/k²
4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन
xyfP₄2

f(2) का सन्निकटन करने के लिए f(x) = eˣ की घात 4 का मैकलॉरिन बहुपद उपयोग करें। P₄(2) दें।

f(x) = eˣn = 4x = 2
P₄(2) =
5.आव्यूह और सारणिकमध्यम
A =0−31−51201−3

दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [0 −3 1; −5 1 2; 0 1 −3]
det A =
6.आव्यूह और सारणिककठिन
A =23−1−2

दिखाए गए आव्यूह A का बड़ा आइगेनमान λ ज्ञात करें।

A = [2 3; −1 −2]
λ =
7.अवकल समीकरणमध्यम
t (min)T (°C)14Ta​37 °C

94 °C पर कॉफ़ी का एक कप 24 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। 14 min के बाद इसका तापमान 37 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।

T0 = 94 °CTa = 24 °CT(14) = 37 °C
k = min⁻¹
8.अवकल समीकरणकठिन
tyK = 2y(0.25) = ?

एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 2y′ + 26y = 52 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। y(0.25) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।

y″ + 2y′ + 26y = 52y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =

3विलयन

1.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: n = 127

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

द्वितीय अवकलज की सीमा

M = 6·2 = 12

n ज्ञात करें

n² > 8·12/(12·0.0005) = 16000
n > 126.5 → n = 127

उत्तर

n = 127
2.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y1 = 1.095

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

चार ढालें

k₁ = f(0, 1) = 1
k₂ = f(0.05, 1.05) = 0.948854
k₃ = f(0.05, 1.047443) = 0.948976
k₄ = f(0.1, 1.094898) = 0.896291

मिलाएँ

y₁ = 1 + (0.1/6)(1 + 2·0.948854 + 2·0.948976 + 0.896291) = 1.095

उत्तर

y1 = 1.095
3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: D: Σ 3ᵏ/k²

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

हर श्रेणी का परीक्षण करें

A: Σ 3/k³ → p = 3 > 1 वाली p-श्रेणी: अभिसरित होती है।
B: Σ (1/3)ᵏ → r = 1/3 वाली गुणोत्तर श्रेणी, |r| < 1: अभिसरित होती है।
C: Σ 1/(k(k + 4)) → 1/k² से छोटी: तुलना से अभिसरित होती है।
D: Σ 3ᵏ/k² → अनुपात परीक्षण: L = 3 > 1, अपसरित होती है।

उत्तर

D: Σ 3ᵏ/k²

उत्तर

D: Σ 3ᵏ/k²
4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: P₄(2) = 7

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

मैकलॉरिन बहुपद

P₄(x) = 1 + x + 0.5x² + 0.1667x³ + 0.04167x⁴

मान रखें

P₄(2) = 1 + 2 + 2 + 1.333333 + 0.666667 = 7

उत्तर

P₄(2) = 7

यथार्थ मान f(2) = 7.389056 है; अधिक पद लेने या 0 के निकट बिंदु लेने पर त्रुटि 0.389056 घटती है।

5.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: det A = 40

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक

M₁₁ = −5, M₁₂ = 15, M₁₃ = −5

सहखंड प्रसार

det A = 0·(−5) − (−3)·15 + 1·(−5) = 40

उत्तर

det A = 40
6.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: λ = 1

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

अभिलाक्षणिक समीकरण

λ² − (0)λ + (−1) = 0

हल करें

λ = (0 ± √(4))/2 → λ = −1, 1
λ = 1

उत्तर

λ = 1
7.अवकल समीकरण

उत्तर: k = 0.1203 min⁻¹

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

तापमान अंतरों का अनुपात

e−14k = 13/70

k के लिए हल करें

k = ln(70/13)/14 = 0.1203 min⁻¹

उत्तर

k = 0.1203 min⁻¹
8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(0.25) = 1.213

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

स्थिर मान और मूल

yss = 2, r = −1 ± 5j

प्रारंभिक मानों से अचर

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2
y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −0.4

मान निकालें

y(0.25) = 2·(1 − e−0.25(cos 1.25 + 0.2·sin 1.25)) = 1.213

उत्तर

y(0.25) = 1.213

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