संख्यात्मक विधियाँ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या: R = lim |c_k/c_k+1|
टेलर बहुपद: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक: det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
आइगेन मान: det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम: x_i = det(A_i)/det(A)

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

n = 2 पट्टियों के साथ सिम्पसन नियम से ∫₀¹ √(1 + x³) dx का सन्निकटन करें। S दें।

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 2

S =

2.संख्यात्मक विधियाँकठिन

y′ = 0.5y, y(0) = −1 के लिए h = 0.25 के साथ यूलर विधि से y₃ ≈ y(0.75) आकलित करें।

y′ = 0.5yy(0) = −1h = 0.25

y₃ =

3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम

चारों श्रेणियों में से ठीक एक अपसरित होती है। उस पर क्लिक करें।

A: Σ (−1)ᵏ/√kB: Σ 3ᵏ/k!C: Σ 2ᵏ/k²D: Σ 1/(3ᵏ + k)

1A: Σ (−1)ᵏ/√k
2B: Σ 3ᵏ/k!
3C: Σ 2ᵏ/k²
4D: Σ 1/(3ᵏ + k)

4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

f(0.8) का सन्निकटन करने के लिए f(x) = e^3x की घात 4 का मैकलॉरिन बहुपद उपयोग करें। P₄(0.8) दें।

f(x) = e^3xn = 4x = 0.8

P₄(0.8) =

5.आव्यूह और सारणिकमध्यम

दिखाए गए आव्यूहों के लिए C = AB मान लें। अवयव c₂₁ (पंक्ति 2, स्तंभ 1) ज्ञात करें।

A = [−2 6; −1 3]B = [−3 5; −3 −2]

c₂₁ =

6.आव्यूह और सारणिककठिन

निकाय x − 6y = 11 और −4x + 3y = 11 हल करें। x ज्ञात करें।

x − 6y = 11−4x + 3y = 11

x =

7.अवकल समीकरणमध्यम

y(0) = 3 और y′(0) = 0 के साथ y″ + 8y′ + 16y = 0 हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1) =

8.अवकल समीकरणकठिन

x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 2y/x = x को y(1) = −1 के साथ हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।

y′ + 2y/x = xy(1) = −1

y(2) =

3विलयन

1.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: S = 1.109

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

नोड और मान

h = 0.5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1.06066 + 1.414214 = 6.656854

सिम्पसन नियम

S = (0.5/3)·6.656854 = 1.109

उत्तर

S = 1.109

इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।

2.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y₃ = −1.424

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

यूलर चरण

y₁ = −1 + 0.25·(−0.5) = −1.125

y₂ = −1.125 + 0.25·(−0.5625) = −1.265625

y₃ = −1.265625 + 0.25·(−0.632813) = −1.423828

ग्राफ़

y₃ = −1.424

उत्तर

y₃ = −1.424

यथार्थ मान y(0.75) = −1.454991 है।

3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: C: Σ 2ᵏ/k²

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|; मूल परीक्षण: L = lim |a_k|^1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σc_k(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |c_k/c_k+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

हर श्रेणी का परीक्षण करें

A: Σ (−1)ᵏ/√k → एकांतर, 1/√k के 0 की ओर घटने के साथ: (सशर्त) अभिसरित होती है।

B: Σ 3ᵏ/k! → अनुपात परीक्षण: L = lim 3/(k + 1) = 0 < 1, अभिसरित होती है।

C: Σ 2ᵏ/k² → अनुपात परीक्षण: L = 2 > 1, अपसरित होती है।

D: Σ 1/(3ᵏ + k) → (1/3)ᵏ से छोटी, जो अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी है: तुलना से अभिसरित होती है।

उत्तर

C: Σ 2ᵏ/k²

उत्तर

C: Σ 2ᵏ/k²

4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: P₄(0.8) = 9.966

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

मैकलॉरिन बहुपद

P₄(x) = 1 + 3x + 4.5x² + 4.5x³ + 3.375x⁴

मान रखें

P₄(0.8) = 1 + 2.4 + 2.88 + 2.304 + 1.3824 = 9.966

उत्तर

P₄(0.8) = 9.966

यथार्थ मान f(0.8) = 11.023176 है; अधिक पद लेने या 0 के निकट बिंदु लेने पर त्रुटि 1.056776 घटती है।

5.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: c₂₁ = −6

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पंक्ति गुणा स्तंभ

c₂₁ = (−1)·(−3) + 3·(−3) = −6

उत्तर

c₂₁ = −6

6.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: x = −4.714

गुणांक आव्यूह का सारणिक

det A = 1·3 − (−6)·(−4) = −21

x स्तंभ बदलें

det Aₓ = 11·3 − (−6)·11 = 99

x = 99/(−21) = −4.714

उत्तर

x = −4.714

y = −2.619

7.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1) = 0.2747

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = e^rt आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·e^r₁t + B·e^r₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·e^rt (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 के रूप में लिखने पर ω_n प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

द्विगुण मूल

(r + 4)² = 0 → r = −4

अचर

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = 0 + 12 = 12

मान निकालें

y(1) = (3 + 12·1)·e⁻⁴ = 0.2747

उत्तर

y(1) = 0.2747

8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(2) = 0.6875

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

समाकलन गुणक

μ = e^{∫2/x dx} = x²

समाकलन करें

(x²y)′ = x³ → x²y = 1x⁴/4 + C

प्रारंभिक प्रतिबंध

−1 = 1/4 + C → C = −1.25

मान निकालें

y(2) = (1·2⁴/4 + (−1.25))/2² = 0.6875

उत्तर

y(2) = 0.6875

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