संख्यात्मक विधियाँ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या: R = lim |c_k/c_k+1|
टेलर बहुपद: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक: det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
आइगेन मान: det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम: x_i = det(A_i)/det(A)

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

समलंब नियम ∫₁³ 1/x dx के लिए उपयोग किया गया है। त्रुटि अधिकतम (b − a)³·M/(12n²) है, जहाँ M = [1, 3] पर max|f″| है। पट्टियों की वह सबसे छोटी संख्या n ज्ञात करें जो त्रुटि को 0.0005 से कम होना सुनिश्चित करे।

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 0.0005

n =

2.संख्यात्मक विधियाँकठिन

y′ = −2ty, y(0) = 2 को यूलर विधि से चरण h = 0.1 के साथ t = 0.5 तक हल करें। यथार्थ हल y = y₀e^−t² है। वैश्विक त्रुटि |E| = |y(0.5) − y₅| ज्ञात करें।

y′ = −2tyy(0) = 2h = 0.1

|E| =

3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम

Σ_k=1^∞ 2ᵏ·k!/kᵏ पर अनुपात परीक्षण लगाएँ। L = lim |a_k+1/a_k| ज्ञात करें।

a_k = 2ᵏ·k!/kᵏ

L =

4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

f(x) = sin x का सन्निकटन x = 1 पर घात 5 के मैकलॉरिन बहुपद से किया गया है। लाग्रांज त्रुटि सीमा M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! को M = 1 के साथ उपयोग करके अधिकतम संभव त्रुटि |R₅| ज्ञात करें।

f(x) = sin xn = 5x = 1M = 1

|R₅| =

5.आव्यूह और सारणिकमध्यम

दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [0 −1 −3; 3 1 3; −5 1 5]

det A =

6.आव्यूह और सारणिककठिन

निकाय −3x − 2y = −8 और −x − 6y = 6 हल करें। x ज्ञात करें।

−3x − 2y = −8−x − 6y = 6

x =

7.अवकल समीकरणमध्यम

95 °C पर कॉफ़ी का एक कप 22 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.11 min⁻¹ के साथ 9 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।

T₀ = 95 °CT_a = 22 °Ck = 0.11 min⁻¹t = 9 min

T = °C

8.अवकल समीकरणकठिन

एक टैंक में 200 L शुद्ध जल है। प्रति लीटर 0.2 kg नमक वाला लवणजल 10 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। कितने मिनट t बाद टैंक में 12 kg नमक होगा?

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0.2 kg/Lr = 10 L/min

t = min

3विलयन

1.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: n = 52

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

द्वितीय अवकलज की सीमा

M = 2/1³ = 2

n ज्ञात करें

n² > 8·2/(12·0.0005) = 2667

n > 51.64 → n = 52

उत्तर

n = 52

2.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: |E| = 0.06961

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

यूलर चरण

y₅ = 1.627208

यथार्थ मान

y(0.5) = 1.557602

वैश्विक त्रुटि

|E| = |1.557602 − 1.627208| = 0.06961

ग्राफ़

उत्तर

|E| = 0.06961

h को आधा करने पर यूलर विधि की त्रुटि लगभग आधी हो जाती है।

3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: L = 0.7358

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |a_k+1/a_k|; मूल परीक्षण: L = lim |a_k|^1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σc_k(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |c_k/c_k+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

क्रमागत पदों का अनुपात

|a_k+1/a_k| = 2·(k/(k + 1))ᵏ = 2/(1 + 1/k)ᵏ → 2/e

निष्कर्ष

L = 0.7358 < 1

उत्तर

L = 0.7358

L < 1, इसलिए श्रेणी अभिसरित होती है।

4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: |R₅| = 0.001389

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

अवकलज पर सीमा

M = 1

लाग्रांज सीमा

|R₅| ≤ 1·1⁶/6! = 0.001389

उत्तर

|R₅| = 0.001389

वास्तविक त्रुटि छोटी है: |f(1) − P₅(1)| = 0.0001957।

5.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: det A = 6

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक

M₁₁ = 2, M₁₂ = 30, M₁₃ = 8

सहखंड प्रसार

det A = 0·2 − (−1)·30 + (−3)·8 = 6

उत्तर

det A = 6

6.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: x = 3.75

गुणांक आव्यूह का सारणिक

det A = (−3)·(−6) − (−2)·(−1) = 16

x स्तंभ बदलें

det Aₓ = (−8)·(−6) − (−2)·6 = 60

x = 60/16 = 3.75

उत्तर

x = 3.75

y = −1.625

7.अवकल समीकरण

उत्तर: T = 49.13 °C

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन नियम का हल

T(t) = 22 + 73·e^−0.11t

t रखें

T(9) = 22 + 73·0.3716 = 49.13 °C

उत्तर

T = 49.13 °C

8.अवकल समीकरण

उत्तर: t = 7.133 min

परिणाम

m(t) = 40 + (−40)·e^−t/20

t के लिए हल करें

e^−t/20 = (40 − 12)/(40 − 0) = 0.7

t = 20·ln(1.429) = 7.133 min

उत्तर

t = 7.133 min

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