संख्यात्मक विधियाँ: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

  1. मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
  2. सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
  3. समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
  4. ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

अनुक्रम और श्रेणियाँ

समांतर अनुक्रम
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या
R = lim |ck/ck+1|
टेलर बहुपद
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

विधि

  1. प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
  2. योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
  3. अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
  4. टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक
det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद
(AB)ij = Σk AikBkj
आइगेन मान
det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम
xi = det(Ai)/det(A)

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय
dy/dt = ky → y = y0ekt
अर्ध-आयु
k = ln 2 / t½
न्यूटन का शीतलन नियम
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
समाकलन गुणक
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2अभ्यास प्रश्न

1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
t (s)01020304050v (m/s)91114202527

किसी वाहन की चाल हर 10 s पर मापी जाती है (सारणी)। समलंब नियम से t = 0 से t = 50 s तक तय की गई दूरी s आकलित करें।

h = 10 sn = 5
s = m
2.संख्यात्मक विधियाँकठिन
00.511.5200.51ty(0, 0)

y′ = e−ty, y(0) = 0 के लिए h = 0.5 के साथ यूलर विधि से y4 ≈ y(2) आकलित करें।

y′ = e−tyy(0) = 0h = 0.5
y4 =
3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
AΣ 1/√kk = 1 … ∞BΣ 3ᵏ/k²k = 1 … ∞CΣ 2ᵏ/k!k = 1 … ∞DΣ (3k + 1)/(k + 2)k = 1 … ∞

चारों श्रेणियों में से ठीक एक अभिसरित होती है। उस पर क्लिक करें।

A: Σ 1/√kB: Σ 3ᵏ/k²C: Σ 2ᵏ/k!D: Σ (3k + 1)/(k + 2)
  1. 1A: Σ 1/√k
  2. 2B: Σ 3ᵏ/k²
  3. 3C: Σ 2ᵏ/k!
  4. 4D: Σ (3k + 1)/(k + 2)
4.अनुक्रम और श्रेणियाँकठिन

f(x) = sin x का सन्निकटन x = 0.5 पर घात n के मैकलॉरिन बहुपद से किया गया है। लाग्रांज सीमा M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! और M = 1 के साथ वह सबसे छोटी घात n ज्ञात करें जो त्रुटि को 0.0001 से कम होना सुनिश्चित करे।

f(x) = sin xx = 0.5M = 1ε = 0.0001
n =
5.आव्यूह और सारणिकमध्यम
A =43−4−3−15201

दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [4 3 −4; −3 −1 5; 2 0 1]
det A =
6.आव्यूह और सारणिककठिन
A =−43−16b =37

निकाय −4x + 3y = 3 और −x + 6y = 7 हल करें। x ज्ञात करें।

−4x + 3y = 3−x + 6y = 7
x =
7.अवकल समीकरणमध्यम
t (min)T (°C)25Ta​158 °C295 °C

500 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 21 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 25 min के बाद इसका तापमान 158 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 295 °C तक पहुँचता है?

T0 = 500 °CTa = 21 °CT(25) = 158 °CT = 295 °C
t = min
8.अवकल समीकरणकठिन
xy12(1, 5)y(2) = ?

x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 2y/x = 6 को y(1) = 5 के साथ हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।

y′ + 2y/x = 6y(1) = 5
y(2) =

3विलयन

1.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: s = 880 m

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

भारित योग

9 + 2·11 + 2·14 + 2·20 + 2·25 + 27 = 176

समलंब नियम

s = (10/2)·176 = 880 m

उत्तर

s = 880 m
2.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y4 = 1.192

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁00010.510.50.50.7788010.8894210.88940.4109021.09485131.51.0948510.1935391.191621

यूलर चरण

y₁ = 0 + 0.5·(1) = 0.5
y₂ = 0.5 + 0.5·(0.778801) = 0.8894
y₃ = 0.8894 + 0.5·(0.410902) = 1.094851
y₄ = 1.094851 + 0.5·(0.193539) = 1.191621
00.511.5200.51ty

ग्राफ़

y4 = 1.192

उत्तर

y4 = 1.192
3.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: C: Σ 2ᵏ/k!

अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।

हर श्रेणी का परीक्षण करें

A: Σ 1/√k → p = 1/2 ≤ 1 वाली p-श्रेणी: अपसरित होती है।
B: Σ 3ᵏ/k² → अनुपात परीक्षण: L = 3 > 1, अपसरित होती है।
C: Σ 2ᵏ/k! → अनुपात परीक्षण: L = lim 2/(k + 1) = 0 < 1, अभिसरित होती है।
D: Σ (3k + 1)/(k + 2) → पद 0 की जगह 3 की ओर जाते हैं: n-वें पद परीक्षण से अपसरित होती है।

उत्तर

C: Σ 2ᵏ/k!

उत्तर

C: Σ 2ᵏ/k!
4.अनुक्रम और श्रेणियाँ

उत्तर: n = 5

टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।

n(n + 1)!सीमा010.5120.125260.020833240.00260441200.000260457202.17 × 10⁻⁵

बढ़ते n के लिए सीमाएँ

n = 4: 0.0002604 ≥ 0.0001
n = 5: 2.17 × 10⁻⁵ < 0.0001

सबसे छोटी घात

n = 5

उत्तर

n = 5
5.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: det A = 27

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक

M₁₁ = −1, M₁₂ = −13, M₁₃ = 2

सहखंड प्रसार

det A = 4·(−1) − 3·(−13) + (−4)·2 = 27

उत्तर

det A = 27
6.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: x = 0.1429

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

गुणांक आव्यूह का सारणिक

det A = (−4)·6 − 3·(−1) = −21

x स्तंभ बदलें

det Aₓ = 3·6 − 3·7 = −3
x = −3/(−21) = 0.1429

उत्तर

x = 0.1429
y = 1.19
7.अवकल समीकरण

उत्तर: t = 11.16 min

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन स्थिरांक

k = ln(479/137)/25 = 0.05007 min⁻¹

लक्ष्य तक पहुँचने का समय

t = ln(479/274)/0.05007 = 11.16 min

उत्तर

t = 11.16 min
8.अवकल समीकरण

उत्तर: y(2) = 4.75

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

समाकलन गुणक

μ = e∫2/x dx = x2

समाकलन करें

(x2y)′ = 6x2 → x2y = 6x3/3 + C

प्रारंभिक प्रतिबंध

5 = 6/3 + C → C = 3

मान निकालें

y(2) = (6·23/3 + 3)/22 = 4.75

उत्तर

y(2) = 4.75

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