मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
अनुक्रम और श्रेणियाँ
समांतर अनुक्रम
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
गुणोत्तर अनुक्रम
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
अनंत गुणोत्तर श्रेणी
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-श्रेणी
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
अनुपात परीक्षण
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
अभिसरण त्रिज्या
R = lim |ck/ck+1|
टेलर बहुपद
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
मैकलॉरिन श्रेणी
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
लाग्रांज त्रुटि सीमा
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
विधि
प्रकार पहचानें: समांतर (अचर अंतर), गुणोत्तर (अचर अनुपात), मानक श्रेणी, घात श्रेणी या टेलर बहुपद।
योगों के लिए Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), या |r| < 1 होने पर S = a₁/(1 − r) उपयोग करें, जहाँ a₁ योग का पहला पद है।
अभिसरण के लिए: पहले n-वाँ पद परीक्षण, फिर Σ1/kᵖ या गुणोत्तर श्रेणी से तुलना, और क्रमगुणों तथा k-वीं घातों के लिए अनुपात या मूल परीक्षण उपयोग करें।
टेलर बहुपदों के लिए f(a), f′(a), f″(a), … सूचीबद्ध करें, k-वें अवकलज को k! से भाग दें, और त्रुटि को M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! से सीमित करें।
आव्यूह और सारणिक
2×2 सारणिक
det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद
(AB)ij = Σk AikBkj
आइगेन मान
det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम
xi = det(Ai)/det(A)
अवकल समीकरण
चरघातांकी वृद्धि/क्षय
dy/dt = ky → y = y0ekt
अर्ध-आयु
k = ln 2 / t½
न्यूटन का शीतलन नियम
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
समाकलन गुणक
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2अभ्यास प्रश्न
1.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
n = 3 पट्टियों के साथ समलंब नियम से ∫01 1/(1 + x³) dx का सन्निकटन करें। T दें।
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 3
T =
2.संख्यात्मक विधियाँकठिन
y′ = −0.5y, y(0) = 2 को यूलर विधि से चरण h = 0.1 के साथ t = 0.4 तक हल करें। यथार्थ हल y = y₀e−0.5t है। वैश्विक त्रुटि |E| = |y(0.4) − y4| ज्ञात करें।
y′ = −0.5yy(0) = 2h = 0.1
|E| =
3.अनुक्रम और श्रेणियाँमध्यम
चारों श्रेणियों में से ठीक एक अभिसरित होती है। उस पर क्लिक करें।
a = −1 के परितः f(x) = e2x की टेलर श्रेणी में (x + 1)² का गुणांक c₂ ज्ञात करें।
f(x) = e2xa = −1k = 2
c₂ =
5.आव्यूह और सारणिकमध्यम
दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।
A = [−4 0 −5; −5 0 −5; −2 3 5]
det A =
6.आव्यूह और सारणिककठिन
निकाय −3x + y = 0 और −5x − 4y = −3 हल करें। x ज्ञात करें।
−3x + y = 0−5x − 4y = −3
x =
7.अवकल समीकरणमध्यम
y(0) = 3 और y′(0) = -1 के साथ y″ + 4y′ + 4y = 0 हल कीजिए। y(0.5) ज्ञात कीजिए।
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = -1
y(0.5) =
8.अवकल समीकरणकठिन
एक टैंक में 400 L जल है जिसमें 5 kg नमक घुला है। प्रति लीटर 0.2 kg नमक वाला लवणजल 4 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। 85 min के बाद टैंक में कितना नमक m है?
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0.2 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
3विलयन
1.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: T = 0.8286
संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।
इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।
2.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: |E| = 0.008449
y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।
यूलर चरण
y4 = 1.629012
यथार्थ मान
y(0.4) = 1.637462
वैश्विक त्रुटि
|E| = |1.637462 − 1.629012| = 0.008449
ग्राफ़
उत्तर
|E| = 0.008449
h को आधा करने पर यूलर विधि की त्रुटि लगभग आधी हो जाती है।
3.अनुक्रम और श्रेणियाँ
उत्तर: B: Σ (1/2)ᵏ
अभिसरण: यदि पद 0 की ओर नहीं जाते तो श्रेणी अपसरित होती है (n-वाँ पद परीक्षण)। Σ1/kᵖ केवल p > 1 के लिए अभिसरित होती है, और Σrᵏ केवल |r| < 1 के लिए। जब बड़े k के लिए किसी श्रेणी के पद इनमें से किसी जैसे व्यवहार करें, तो उसकी तुलना इससे करें। अनुपात परीक्षण: L = lim |ak+1/ak|; मूल परीक्षण: L = lim |ak|1/k। L < 1 अभिसरित, L > 1 अपसरित, L = 1 कुछ तय नहीं करता। घात श्रेणी Σck(x − x₀)ᵏ |x − x₀| < R के लिए अभिसरित होती है, जहाँ R = lim |ck/ck+1|; 0 की ओर घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी अभिसरित होती है।
हर श्रेणी का परीक्षण करें
A: Σ (5/3)ᵏ → r = 5/3 > 1 वाली गुणोत्तर श्रेणी: पद बढ़ते हैं, इसलिए अपसरित होती है।
B: Σ (1/2)ᵏ → r = 1/2 वाली गुणोत्तर श्रेणी, |r| < 1: अभिसरित होती है।
C: Σ 1/(5k + 2) → बड़े k के लिए 1/(5k) जैसा व्यवहार करती है; हरात्मक श्रेणी से तुलना करने पर अपसरित होती है।
D: Σ (k + 2)/k² → बड़े k के लिए 1/k जैसा व्यवहार करती है: हरात्मक श्रेणी से तुलना द्वारा अपसरित होती है।
उत्तर
B: Σ (1/2)ᵏ
उत्तर
B: Σ (1/2)ᵏ
4.अनुक्रम और श्रेणियाँ
उत्तर: c₂ = 0.2707
टेलर बहुपद: x = a के निकट कोई सुचारु फलन Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! से सन्निकटित होता है; a = 0 के लिए यह मैकलॉरिन बहुपद है। मानक श्रेणियाँ: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ। लाग्रांज त्रुटि सीमा: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, जहाँ M, a और x के बीच |f⁽ⁿ⁺¹⁾| का सबसे बड़ा मान है।
अवकलज f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = 2²·e2x
गुणांक
c₂ = 2²·e−2/2! = 0.2707
c₂ = 0.2707
उत्तर
c₂ = 0.2707
5.आव्यूह और सारणिक
उत्तर: det A = 15
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक
M₁₁ = 15, M₁₂ = −35, M₁₃ = −15
सहखंड प्रसार
det A = (−4)·15 − 0·(−35) + (−5)·(−15) = 15
उत्तर
det A = 15
6.आव्यूह और सारणिक
उत्तर: x = 0.1765
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
गुणांक आव्यूह का सारणिक
det A = (−3)·(−4) − 1·(−5) = 17
x स्तंभ बदलें
det Aₓ = 0·(−4) − 1·(−3) = 3
x = 3/17 = 0.1765
उत्तर
x = 0.1765
y = 0.5294
7.अवकल समीकरण
उत्तर: y(0.5) = 2.023
द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।
द्विगुण मूल
(r + 2)² = 0 → r = −2
अचर
A = y(0) = 3
y′(0) = B − 2A → B = -1 + 6 = 5
मान निकालें
y(0.5) = (3 + 5·0.5)·e−1 = 2.023
उत्तर
y(0.5) = 2.023
8.अवकल समीकरण
उत्तर: m = 47.94 kg
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।