सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
स्थिर 28 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 6 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर पकड़ती है? d ज्ञात कीजिए।
ज़मीन से 15 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 13 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।
14 kg का एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।
क्षैतिज मेज़ पर रखा 6 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 3.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।
समतल ज़मीन से एक गेंद 32 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 65 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।
ज़मीन के स्तर से एक गेंद 27 m/s से क्षैतिज से 65° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 5 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।
एक कार 35 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.8 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।
0.6 m लंबी हल्की डोरी पर एक 0.2 kg गेंद को ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है। निम्नतम बिंदु पर इसकी चाल 9 m/s है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। उच्चतम बिंदु पर डोरी में तनाव Ttop ज्ञात कीजिए।
एक 2 kg गेंद 0.8 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 90° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
एक 0.5 kg गाड़ी 11.3 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 2.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर गाड़ी की चाल v ज्ञात कीजिए।
12 m/s से चल रहा 4.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 2.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′2 ज्ञात कीजिए।
0.55 kg की एक गेंद 16 m/s से दीवार से टकराती है और 12 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 50 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।
एक सरल लोलक की लंबाई 2.3 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।
350 m/s से चलती एक 10 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 1 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 1400 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।
एक सिरे पर बंद नली का संनादी संख्या 5 572 Hz पर होना चाहिए। ध्वनि की चाल 343 m/s है। नली की लंबाई L ज्ञात करें।
600 nm तरंगदैर्ध्य का प्रकाश 0.25 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियों पर पड़ता है। परदा 3 m दूर है। केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से दीप्त फ्रिंज संख्या 4 तक की दूरी y4 ज्ञात करें।
उत्तर: d = 261.3 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
उस क्षण पुलिस कार 2v = 56 m/s से चलती है।
उत्तर: t = 3.519 s
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।
केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।
उत्तर: a = 1.512 m/s²
न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।
ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।
उत्तर: a = 2.065 m/s²
न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।
उत्तर: θ = 19.26 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
दूसरा हल 90° − θ = 70.74° है।
उत्तर: x = 54.49 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।
उत्तर: vmax = 16.57 m/s
एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।
उत्तर: Ttop = 17.19 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
2r ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदलती है।
तनाव और गुरुत्व दोनों नीचे, केंद्र की ओर हैं।
उत्तर: T = 58.86 N
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।
जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 58.86 N।
उत्तर: v = 11.12 m/s
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।
गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।
उत्तर: v′2 = 15.43 m/s
संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।
उत्तर: J = 15.4 N·s
संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
उत्तर: T = 3.042 s
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
उत्तर: A = 9.308 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
उत्तर: L = 0.7496 m
अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, fn = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।
उत्तर: y4 = 28.8 mm
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
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