भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

100 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 100 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 40 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 15 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 15 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

5 kg और 3 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

30° पर झुके रैंप पर एक 4 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 3 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 45° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 20 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 40 m/s से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 16 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 40 m/sθ = 35°h_roof = 16 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 20 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.5 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 20 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.6 m लंबी डोरी से बँधी 0.6 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 7.5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.6 kgr = 0.6 mv = 7.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 0.5 kg गेंद 3 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 50° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgL = 3 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

10 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 4 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

15 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 16 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 2 kg टुकड़ा 56 m/s से आगे चलता रहता है। 14 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 16 kgu = 15 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 56 m/sm₂ = 14 kg

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 900 kg कार एक खड़ी 900 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 25 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.8 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 900 kgm₂ = 900 kgd = 25 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 30 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.3 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 3 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 0.95 s पर उसका वेग v (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।

m = 1.3 kgk = 30 N/mA = 3 cmt = 0.95 s

v = m/s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 270 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 13 cm आयाम से दोलन करता है। द्रव्यमान के संतुलन से 9 cm पर होने पर स्प्रिंग में संचित ऊर्जा U ज्ञात कीजिए।

k = 270 N/mA = 13 cmx = 9 cm

U = J

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

10 m/s से चलता 440 Hz का एक स्रोत और 10 m/s से चलता एक प्रेक्षक एक-दूसरे के पास आ रहे हैं। ध्वनि की चाल 343 m/s है। प्रेक्षक को सुनाई देने वाली आवृत्ति f′ ज्ञात करें।

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक वस्तु 20 cm वक्रता त्रिज्या वाले उत्तल दर्पण के सामने 25 cm पर है। आवर्धन m ज्ञात करें (उल्टे प्रतिबिंब के लिए ऋणात्मक)।

d_o = 25 cmR = 20 cm

m =

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 5.556 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

ब्रेकिंग समय

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/5 = 5.556 s

उत्तर

t = 5.556 s

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 51.47 m

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 40 + 11.47 = 51.47 m

उत्तर

h_max = 51.47 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 36.79 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (5 − 3)·9.81/(5 + 3) = 2.453 m/s²

हल्के द्रव्यमान से तनाव

T − m₂·g = m₂·a → T = 3·(9.81 + 2.453) = 36.79 N

उत्तर

T = 36.79 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 27.41 N

डोरी के साथ बल

m₂·g = 29.43 N

m₁·g·sin θ = 19.62 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.097 N

निकाय का त्वरण

a = (29.43 − 19.62 − 5.097)/7 = 0.6732 m/s²

लटकते द्रव्यमान से तनाव

m₂·g − T = m₂·a → T = 3·(9.81 − 0.6732) = 27.41 N

उत्तर

T = 27.41 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 10.19 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 45° = 14.14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 45° = 14.14 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 14.14²/(2·9.81) = 10.19 m

उत्तर

H = 10.19 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 125.3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 32.77 m/s, v_y = 22.94 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

16 = 22.94·t − 4.905·t²

t = (22.94 + √(22.94² − 2·9.81·16))/9.81 = 3.825 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 32.77·3.825 = 125.3 m

उत्तर

x = 125.3 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 9.905 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·20) = 9.905 m/s

उत्तर

v_max = 9.905 m/s (35.66 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 62.14 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·7.5²/0.6 = 5.886 + 56.25 = 62.14 N

उत्तर

T = 62.14 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 8.409 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 50°) = 21.03 m²/s²

तल पर बल

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·21.03/3 = 8.409 N

उत्तर

T = 8.409 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 8.409 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 82.87 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 98.1·(4 − 0.2·2.5) = 343.4 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 343.4 → x = √(2·343.4/1000) = 0.8287 m = 82.87 cm

उत्तर

x = 82.87 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 9.143 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 16·15 = 240 kg·m/s

बाद का संवेग

240 = 2·56 + 14·v′₂

v′₂ = (240 − 112)/14 = 9.143 m/s

उत्तर

v′₂ = 9.143 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 39.62 m/s

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·25) = 19.81 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1800·19.81/900 = 39.62 m/s

उत्तर

v₁ = 39.62 m/s

(142.6 km/h)

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 0.1425 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(30/1.3) = 4.804 rad/s

ω·t = 4.804·0.95 = 4.564 rad

वेग

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·4.804·sin(4.564) = 0.1425 m/s

उत्तर

v = 0.1425 m/s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: U = 1.093 J

कुल ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·270·0.13² = 2.282 J

x पर स्प्रिंग ऊर्जा

U = ½·k·x² = ½·270·0.09² = 1.093 J

उत्तर

U = 1.093 J

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: f′ = 466.4 Hz

अप्रगामी तरंगें और डॉप्लर प्रभाव: दोनों सिरों पर बँधी डोरी, या दोनों सिरों पर खुली नली, में पूरी अर्ध-तरंगदैर्ध्य समाती हैं: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … एक सिरे पर बंद नली में बंद सिरे पर निस्पंद और खुले सिरे पर प्रस्पंद होता है: L = nλ/4, केवल विषम n के साथ, f_n = n·v/(4L)। जब स्रोत या प्रेक्षक उनके बीच की रेखा के अनुदिश चलते हैं, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): एक-दूसरे की ओर गति के लिए ऊपरी चिह्न उपयोग करें। लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद बनाती हैं।

डॉप्लर सूत्र

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 10)/(343 − 10)

f′ = 466.4 Hz

उत्तर

f′ = 466.4 Hz

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: m = 0.2857

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

फोकस दूरी

f = −R/2 = −10 cm

दर्पण समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/25

d_i = −7.143 cm

आवर्धन

m = −(−7.143)/25 = 0.2857

उत्तर

m = 0.2857

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