भौतिकी 1: यांत्रिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

तरंग चाल: v = fλ, T = 1/f
डोरी: v = √(T/μ), μ = m/L
ध्वनि स्तर: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
बिंदु स्रोत: I = P/(4πr²)
अप्रगामी तरंगें: डोरी या खुली नली f_n = n·v/(2L); बंद नली f_n = n·v/(4L), n विषम
डॉप्लर प्रभाव: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
अपवर्तनांक: n = c/v, λ = λ₀/n
स्नेल का नियम: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
क्रांतिक कोण: sin θ_c = n₂/n₁
प्रकाशिक तंतु: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
लेंस और दर्पण: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
द्वि-झिरी: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
झरझरी: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
एकल झिरी: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

विधि

प्रश्न का प्रकार पहचानें: तरंग चाल, ध्वनि स्तर, अप्रगामी तरंग, डॉप्लर, अपवर्तन, लेंस या दर्पण, या व्यतिकरण।
पहले संबंध लिखें: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) या n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ।
इकाइयाँ बदलें: nm, mm और cm से m में, और जाँचें कि कोण अभिलंब से मापे गए हैं या नहीं।
चिह्न और औचित्य जाँचें: आभासी प्रतिबिंब का dᵢ < 0 होता है, पास आता स्रोत ऊँचा सुनाई देता है, बंद नली में केवल विषम संनादी होते हैं।

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 3.25 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 700 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

v₀ = 0a = 3.25 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 45 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 27 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 45 mv_0B = 27 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 5 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 35° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

35° पर झुके रैंप पर एक 7.5 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 8.5 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 7.5 kgm₂ = 8.5 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 60° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 80 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 60°R = 80 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 39 m/s से क्षैतिज से 70° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 4 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 39 m/sθ = 70°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार सड़क के एक उभार के शीर्ष पर से गुज़रती है, जो 30 m त्रिज्या का वृत्तीय चाप है। g = 9.81 m/s² लें। किस चाल v_max से ऊपर शीर्ष पर पहिए सड़क छोड़ देते हैं?

r = 30 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.4 m लंबी डोरी से बँधी 1.1 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 4 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1.1 kgr = 1.4 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

0.5 kg का एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर 11 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgθ = 25°μ = 0.2d = 11 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

1 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 4000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

6 m/s से चल रहा 3 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.45 kg की एक गेंद 28 m/s से दीवार से टकराती है और 12 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 20 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.45 kgv_in = 28 m/sv_out = 12 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 370 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 0.7 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 13 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 1.15 s पर उसका वेग v (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।

m = 0.7 kgk = 370 N/mA = 13 cmt = 1.15 s

v = m/s

14.स्प्रिंग और लोलककठिन

एक पिंड 2.1 s आवर्तकाल और 19 cm आयाम के साथ सरल आवर्त गति में दोलन करता है। अपने अधिकतम 19 cm विस्थापन से 17.1 cm विस्थापन तक जाने में इसे न्यूनतम कितना समय t लगता है?

T = 2.1 sA = 19 cmx = 17.1 cm

t = s

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीमध्यम

एक वस्तु 5 cm फोकस दूरी वाले पतले अभिसारी लेंस के सामने 40 cm पर रखी है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें। चिह्न परिपाटी 1/f = 1/d_o + 1/d_i का उपयोग करें (अपसारी लेंस के लिए f < 0, आभासी प्रतिबिंब के लिए d_i < 0)।

d_o = 40 cmf = 5 cm

d_i = cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकीकठिन

एक वस्तु 50 cm वक्रता त्रिज्या वाले उत्तल दर्पण के सामने 40 cm पर है। प्रतिबिंब दूरी d_i ज्ञात करें, दर्पण के सामने (वास्तविक) प्रतिबिंब के लिए धनात्मक और पीछे (आभासी) के लिए ऋणात्मक।

d_o = 40 cmR = 50 cm

d_i = cm

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: v = 67.45 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

दूरी के बाद चाल

v = √(2·a·s) = √(2·3.25·700) = 67.45 m/s

उत्तर

v = 67.45 m/s

(242.8 km/h)

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 31.38 m

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

45 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 45/27 = 1.667 s

मिलने की ऊँचाई

y = 27·1.667 − ½·9.81·1.667² = 31.38 m

उत्तर

y = 31.38 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: F = 38.18 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ढलान के अनुदिश बल

स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

धकेलने वाला बल

F = 28.13 + 10.04 = 38.18 N

उत्तर

F = 38.18 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.197 m/s²

डोरी के साथ बल

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 42.2 N

μ·m₁·g·cos θ = 6.027 N

निकाय का त्वरण

a = (83.39 − 42.2 − 6.027)/16 = 2.197 m/s²

उत्तर

a = 2.197 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 30.1 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·80/sin 120°) = 30.1 m/s

उत्तर

v₀ = 30.1 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 98.18 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 13.34 m/s, v_y = 36.65 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

4 = 36.65·t − 4.905·t²

t = (36.65 + √(36.65² − 2·9.81·4))/9.81 = 7.361 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 13.34·7.361 = 98.18 m

उत्तर

x = 98.18 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 17.16 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

अभिलंब बल शून्य

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·30) = 17.16 m/s

उत्तर

v_max = 17.16 m/s

(61.76 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 23.36 N

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·4²/1.4 = 10.79 + 12.57 = 23.36 N

उत्तर

T = 23.36 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 9.78 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 4.905·0.9063 = 4.445 N

F = μN = 0.2·4.445 = 0.8891 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 0.8891·11 = 9.78 J

उत्तर

W_f = 9.78 J

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 7.985 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.2·3.5) = 12.75 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 12.75 → x = √(2·12.75/4000) = 0.07985 m = 7.985 cm

उत्तर

x = 7.985 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = −1.5 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (3 − 5)/(3 + 5)·6 = −1.5 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 5)·6 = 4.5 m/s

उत्तर

v′₁ = −1.5 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि पहला ग्लाइडर पीछे लौटता है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 900 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.45·(12 + 28) = 18 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 18/0.02 = 900 N

उत्तर

F_avg = 900 N

13.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = −2.885 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(370/0.7) = 22.99 rad/s

ω·t = 22.99·1.15 = 26.44 rad

वेग

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.13·22.99·sin(26.44) = −2.885 m/s

उत्तर

v = −2.885 m/s

14.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: t = 0.1507 s

कोणीय आवृत्ति

ω = 2π/T = 2π/2.1 = 2.992 rad/s

समय के लिए हल करें

0.9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.9) = 0.451 rad

t = 0.451/2.992 = 0.1507 s

उत्तर

t = 0.1507 s

15.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = 5.714 cm

ज्यामितीय प्रकाशिकी: सीमा पर n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (स्नेल का नियम), जहाँ कोण अभिलंब से मापे जाते हैं और n = c/v। धीमे माध्यम में जाने पर किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है। सघन माध्यम (n₁ > n₂) से क्रांतिक कोण θ_c = arcsin(n₂/n₁) से आगे सारा प्रकाश परावर्तित हो जाता है: पूर्ण आंतरिक परावर्तन। पतले लेंस और गोलीय दर्पण 1/f = 1/d_o + 1/d_i का पालन करते हैं, आवर्धन m = −d_i/d_o के साथ। चिह्न परिपाटी: अभिसारी लेंस और अवतल दर्पण के लिए f > 0 (f = R/2), अपसारी लेंस और उत्तल दर्पण के लिए f < 0; वास्तविक प्रतिबिंब के लिए d_i > 0, आभासी के लिए d_i < 0, और उल्टे प्रतिबिंब के लिए m < 0।

पतले लेंस का समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/40

d_i = 5.714 cm

किरण आरेख

वास्तविक, लेंस के दूसरी ओर

उत्तर

d_i = 5.714 cm

16.तरंगें, ध्वनि और प्रकाशिकी

उत्तर: d_i = −15.38 cm

फोकस दूरी

f = −R/2 = −25 cm

दर्पण समीकरण

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/40

d_i = −15.38 cm

किरण आरेख

दर्पण के पीछे आभासी प्रतिबिंब

उत्तर

d_i = −15.38 cm

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