सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 16 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
60 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 7.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।
गेंद A को 40 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 18 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?
9 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।
क्षैतिज मेज़ पर रखा 5.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 2 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 75° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 40 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v0 ज्ञात कीजिए।
ज़मीन के स्तर से एक गेंद 37 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 8 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।
एक कार 145 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।
0.5 m लंबी डोरी से बँधी एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर वह न्यूनतम चाल vmin क्या है जिस पर डोरी ठीक तनी रहती है?
2 kg का एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर 20 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य Wf ज्ञात कीजिए।
35° ढलान के तल पर 2000 N/m कठोरता वाले एक स्प्रिंग को एक 0.5 kg गुटके के विरुद्ध 15 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। गुटके और ढलान के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। रुकने से पहले गुटका छोड़ने के बिंदु से ढलान पर कितनी दूर d ऊपर जाता है? (स्प्रिंग के धकेलने वाली छोटी दूरी को नगण्य मानें, अर्थात घर्षण और गुरुत्व को पूरी दूरी d पर लें।)
11 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 20 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 8 kg टुकड़ा 61 m/s से आगे चलता रहता है। 12 kg टुकड़े का वेग v′2 ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।
0.2 kg की एक गेंद 11 m/s से दीवार से टकराती है और 16 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 50 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल Favg ज्ञात कीजिए।
k = 420 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.7 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 16 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 9 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
k = 30 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 6 cm आयाम से दोलन करता है। द्रव्यमान के संतुलन से 4 cm पर होने पर स्प्रिंग में संचित ऊर्जा U ज्ञात कीजिए।
एक छोटा लाउडस्पीकर 0.02 W ध्वनि शक्ति सभी दिशाओं में समान रूप से विकीर्ण करता है। 20 m पर ध्वनि तीव्रता स्तर β ज्ञात करें।
0.15 mm की दूरी पर स्थित दो झिरियाँ एकवर्णी प्रकाश से प्रदीप्त हैं। 2 m दूर परदे पर दीप्त फ्रिंज संख्या 5 केंद्रीय फ्रिंज से 39.27 mm दूर है। तरंगदैर्ध्य λ ज्ञात करें।
उत्तर: s = 18.52 m
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
उत्तर: y = 15.78 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।
उत्तर: a = 3.631 m/s²
न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।
ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।
उत्तर: T = 18.7 N
न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।
उत्तर: v0 = 28.01 m/s
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
उत्तर: x = 130.4 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।
उत्तर: vmax = 23.85 m/s
एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।
उत्तर: vmin = 2.215 m/s
एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।
उत्तर: Wf = 55.31 J
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
उत्तर: d = 6.221 m
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
उत्तर: v′2 = −22.33 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
ऋण चिह्न का अर्थ है कि दूसरा टुकड़ा पीछे की ओर उड़ता है।
उत्तर: Favg = 108 N
संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
उत्तर: v = 2.079 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
उत्तर: U = 0.024 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
उत्तर: β = 66 dB
तरंगें: आवर्ती तरंग एक आवर्तकाल में एक तरंगदैर्ध्य चलती है, इसलिए v = fλ, जहाँ T = 1/f। तनी हुई डोरी पर v = √(T/μ), जहाँ T तनाव और μ = m/L प्रति मीटर द्रव्यमान है। 20 °C पर वायु में ध्वनि लगभग 343 m/s से चलती है, निर्वात में प्रकाश c = 3.00 × 10⁸ m/s से। प्रबलता लघुगणकीय पैमाने पर मापी जाती है: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, जहाँ I₀ = 10⁻¹² W/m², इसलिए तीव्रता 10 गुनी होने पर 10 dB जुड़ता है। बिंदु स्रोत अपनी शक्ति P को गोले पर फैलाता है: I = P/(4πr²)।
उत्तर: λ = 589.1 nm
व्यतिकरण और विवर्तन: दूरी d पर स्थित दो झिरियों से आया प्रकाश परदे के किसी बिंदु पर पथांतर d·sin θ के साथ पहुँचता है। दीप्त फ्रिंज वहाँ बनते हैं जहाँ d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …)। दूरी L ≫ d पर स्थित परदे के लिए m-वाँ दीप्त फ्रिंज y = mλL/d पर होता है और फ्रिंज अंतराल Δy = λL/d है। प्रति मिलीमीटर N रेखाओं वाली झरझरी का d = 1/N होता है और d·sin θ = mλ पर तीक्ष्ण उच्चिष्ठ होते हैं; चूँकि sin θ ≤ 1, उच्चतम कोटि सबसे बड़ा पूर्णांक m ≤ d/λ है। चौड़ाई a की एकल झिरी में a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, … पर अदीप्त फ्रिंज होते हैं।
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